Distribución Normal con una Media de

Question

Estoy tratando de entender la distribución, la media y la varianza de una variable aleatoria normal, con la media del parámetro de tener una distribución uniforme. Basado en mi R simulaciones parece que este compuesto distribución cercana a la normal, con la media es igual a la media de la distribución uniforme y varianza igual a la suma de lo normal y uniforme de las desviaciones.

a <- 1
b <- 5
x <- runif(n, min=a, max=b)
std <- 3
c <- rnorm(n, mean=x, sd=std)

c(mean(c), (a+b)/2)
c(var(c), var(x) + std^2)

Es mi suposición correcta? Puedo encontrar una prueba de que? Hay poca información en la web sobre este tipo de compuestos distribuciones. Gracias.

Answer 1

Usted puede calcular la media y la varianza de los compuestos de distribución de $X$ con la ley de la total expectativa y la ley de la varianza total.

Significa:

$$ E[X] = E \left[ E [X \mid U ] \right] = E[U] = \frac{b + a}{2}$$

Which is, as you observe, the mean of the uniform distribution.

Variance:

$$ Var[X] = E[ Var[X \mid U] ] + Var[ E[X \mid U ] ] = E[3^2] + Var[U] = 9 + \frac{(b - a)^2}{12} $$

Que es, como usted puede observar, la suma de las dos varianzas.

El compuesto de distribución puede ser, ciertamente, lejos de ser normal. Considere el caso donde la desviación estándar de la distribución normal es muy pequeño en relación a la anchura de la distribución uniforme.

u <- runif(10000)
n <- rnorm(10000, mean=u, sd=0.01)

hist(n, breaks=100)

Answer 2

La distribución que está relacionado con el caso especial de su pregunta fue descrito por Bhattacharjee, Pandit, y Mohan (1963). Se supone que la distribución uniforme se centra en torno a la media global $\mu$ e ha $(\mu-a, \mu+a)$ límites.

En la forma estándar tiene función de densidad de probabilidad

$$ f(z) = \frac{1}{2a} \left[\Phi\left(z+a\right) - \Phi\left(z-a\right)\right] $$

and cumulative distribution function

$$ F(z) = \frac{1}{2a} \left[z\,\Phi\left(z+a\right) - z\,\Phi\left(z-a\right) + \phi\left(z+a\right) - \phi\left(z-a\right)\right] $$

where $\Phi$ is a standard normal cdf and $\phi$ is a standard normal pdf.

It emerges when $U \sim \mathcal{U}(\mu-un, \mu+a)$ and $X \sim \mathcal{N}(\mu \sigma^2)$, then $Z = U+X$ sigue la distribución descrita por Bhattacharjee et al.

library(extraDistr)

set.seed(123)

u <- runif(10000, -1, 1)
n <- rnorm(10000, mean=u, sd=1)

hist(n, breaks=100, freq = F)
curve(dbhatt(x, 0, 1, 1), -6, 6, add = T, col = "red")

set.seed(123)

u <- runif(10000, -3, 3)
n <- rnorm(10000, mean=u, sd=1)

hist(n, breaks=100, freq = F)
curve(dbhatt(x, 0, 1, 3), -6, 6, add = T, col = "red")

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Bhattacharjee, G. P., Pandit, S. N. N., y Mohan, R. (1963). Dimensión de las cadenas que implican rectangular y de error normal de las distribuciones. Technometrics, 5, 404-406.