Ordinal exponenciación de la identidad natural de la suma de los exponentes

Question

Esto está relacionado con una pregunta anterior sobre Cómo pensar acerca ordinal exponenciación?

Una posible definición para el producto natural $\alpha\otimes\beta$ de los ordinales se basa en el Cantor de Formas Normales y naturales de la suma: si $\alpha=\omega^{\alpha_1}+\cdots+\omega^{\alpha_n}$ $\beta=\omega^{\beta_1}+\cdots+\omega^{\beta_m}$ son CNFs, entonces $\alpha\otimes\beta=\bigoplus_{i=1}^n\bigoplus_{j=1}^m\omega^{\alpha_i\oplus\beta_j}$.

Con esta definición, automáticamente obtiene los siguientes exponenciación de la ley natural, y productos de exponenciales: $\omega^\alpha\otimes\omega^\beta=\omega^{\alpha\oplus\beta}$.

Mi pregunta: ¿es más general que el $\gamma^\alpha\otimes\gamma^\beta=\gamma^{\alpha\oplus\beta}$ cualquier $\gamma>0$? Y si sí, ¿qué se recomienda como una buena referencia?

Yo esperaba encontrar la respuesta en la página de la wikipedia sobre ordinal aritmética , o en algún otro ampliamente disponible el código fuente, pero no se ha logrado.

Answer 1

No tengo una respuesta a tu pregunta, pero hice una búsqueda a través de muy pocos teoría de los libros de la mañana y he tomado notas de lo que me he encontrado en el caso de que usted u otras personas interesadas.

El tema parece menos cubiertos en los libros que yo esperaba, y me imagino que tendrá que consultar artículos de revistas para encontrar mucho de significación (a menos que usted puede leer Hessenberg y Jacobsthal del trabajo en su versión original en alemán). Para este fin, una búsqueda en google de todas las palabras Hessenberg natural de la suma del producto es el más útil buscar que conozco para encontrar algo si no eres capaz de buscar en una biblioteca de la universidad. No he tenido tiempo hoy para hacer de mucho buscar artículos en revistas, y de los pocos papeles que he encontrado, [9] y [10] parecía ser el más relevante, pero no creo que tenga nada específicamente pertinentes a su pregunta. La única matemáticas StackExchange post que encontré fue Cuando el ordinal suma es igual a la Hessenberg ("natural") de la suma, pero no me parece muy duro.

[1] Karl Heinz Bachmann, Transfinito Zahlen [los Números transfinitos], 2ª edición, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete #1, Springer-Verlag, 1967, viii + 228 páginas.

Véase el §23. Natürliche Operationen (páginas 107 a 112). La parte inferior de la p. 109 tiene una identidad que es lo que quieres, pero parece que se trata de un producto natural definido por Jacobsthal, más que el producto natural como es definido por Hessenberg.

[2] Abraham Adolf [Adolfo] Halevi Fraenkel, Resumen la Teoría de conjuntos, 2ª edición, los Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas, de 1961, viii + 295 páginas.

Una 1966 3ª edición (viii + 297 páginas) existe, pero no tengo una copia de la misma. Véase el Capítulo III, §11, las dos últimas páginas de la Sección 4. La aritmética de los números Ordinales, páginas 214-215.

[3] Felix Hausdorff, la Teoría de conjuntos, el Chelsea Publishing Company, 1957, 352 páginas.

Esta es una traducción de John R. Aumann y otros de la de 1935 edición alemana. Véase el Capítulo IV, las dos últimas páginas del artículo 14. La Combinación de los Números Ordinales, páginas 80-81.

[4] Michael Holz, Karsten Steffens, y Edmund [Edi] Weitz, Introducción al Cardenal Aritmética, Birkhäuser Avanzada de Textos, Birkhäuser Verlag, 1999, viii + 304 páginas.

Consulte el Capítulo 1, cerca del final de la Sección 4. La aritmética de los números Ordinales, p. 37. Sólo Hessenberg natural de la suma que se considera.

[5] Erich Kamke, Teoría de Conjuntos, Publicaciones de Dover, 1950, viii + 144 páginas.

Esta es una traducción de Federico Otto Bagemihl de 1947 2ª edición alemana. Véase el Capítulo IV, las dos últimas páginas de §10. Polinomios en Números Ordinales, pp 109-110.

[6] Azriel Levy, Básicos de la Teoría de conjuntos, las Perspectivas en la Lógica Matemática, Springer-Verlag, 1979, xiv + 391 páginas.

Reimpreso por Dover Publications en 2002 (xiv + 398 páginas). El Dover edición incluye aproximadamente 200 Correcciones y Adiciones en un apéndice en las páginas 393-398. Véase el Capítulo IV, final de la Sección 2. Ordinal Exponenciación, p. 130, Definición de 2.21 y el Ejercicio 2.22. Sólo Hessenberg natural de la suma que se considera.

[7] Horst Wolfram Pohlers, Prueba De La Teoría. Una Introducción, Notas de la Conferencia en Matemáticas #1407, Springer-Verlag, 1989, viii + 213 páginas.

Una edición posterior existe, pero no tengo una copia de la misma. Véase el Capítulo I, cerca del final de §7. Ordinal aritmética, p. 43. Sólo Hessenberg natural de la suma que se considera.

[8] Waclaw Franciszek Sierpinski, los Números Cardinales y Ordinales, 2ª edición revisada, Monografie Matematyczne #34, PWN--polaco Editores de publicaciones Científicas, 1965, 491 páginas.

Véase el Capítulo XIV, Sección 28: Natural de la suma y el producto natural de los números ordinales (p 366-367). A pesar de lo exhaustivo de este libro es, sorprendentemente, poco se dice acerca de este tema.

[9] Philip Wilkinson Carruth, la Aritmética de los números ordinales con aplicaciones a la teoría de la ordenó Abelian grupos, Boletín de la Sociedad Matemática Americana 48 #4 (abril de 1942), 262-271.

[10] Martin Michael Zuckerman, Natural sumas de los números ordinales, Fundamenta Mathematicae 77 #3 (1973), 289-294.

Answer 2

La respuesta es NO: no tienen en general que $\gamma^\alpha\otimes\gamma^\beta=\gamma^{\alpha\oplus\beta}$.

Por ejemplo,$\alpha=\beta=1$, no tenemos $\gamma\otimes\gamma=\gamma^2$. Pruébelo $\gamma=\omega^2+\omega+1$. Esto le da $$\begin{aligned}\gamma^2=\gamma\cdot\gamma&=(\omega^2+\omega+1)\cdot \omega^2 + (\omega^2+\omega+1)\cdot\omega + (\omega^2+\omega+1) \\&= \omega^4+\omega^3+(\omega^2+\omega+1)\end{aligned}$$, mientras que $\gamma\otimes\gamma =\omega^4+\omega^3\cdot 2+\omega^2\cdot 3+\omega\cdot 2+1$.

Uno sólo ha $\gamma^\alpha\otimes\gamma^\beta\geq\gamma^{\alpha\oplus\beta}$ en general.

PS: parece que la igualdad tiene (para cualquier exponentes $\alpha$$\beta$) $\gamma$ es una de las principales ordinal (es decir, de la forma $\omega^\delta$) e incluso cuando es finita múltiples (es decir, $\omega^\delta\cdot n$ o $\omega^\delta+\cdots+\omega^\delta$) de dicho ordinal, pero que va más allá de la pregunta original.