La solución para $x$ $a^x / x = b$

Question

He terminado con una ecuación de la forma $a^x / x = b$ y estoy tratando de resolver para $x$ pero no se puede aislar. Siempre termino con una de las $x$'s como el exponente de $e$ o en una función de registro.

Answer 1

Por desgracia, la ecuación no se puede resolver analíticamente, ya que se convierte en

$x\log a - \log x = \log b$

Usted necesidad de utilizar métodos numéricos.

Por ejemplo, usted podría intentar el método de Newton Raphson método, donde el objetivo es encontrar las raíces de la ecuación de $f(x)=0$ mediante la siguiente iteración, donde $f'(x)$ es la derivada de la función con respecto a $x$.

$\large x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}$

Así que empieza con una estimación inicial $x_0$, para obtener

$\large x_1=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$

y continuar para obtener más iteraciones hasta que el resultado no cambia mucho.

Si se expresa la ecuación como

$f(x)=x\log a - \log x - \log b$

La derivada está dada por

$f'(x)= \log a - \frac{1}{x}$

que puede utilizar para aplicar el método de Newton-Raphson método.

Answer 2

$$a^x=bx\iff1=bxa^{-x}\iff\frac1b=xe^{-x\ln a}\iff-\frac{\ln a}b=(-\ln a)xe^{-x\ln a}\iff$$

$$\iff(-\ln a)x=W\bigg(-\frac{\ln a}b\bigg)\iff x=-\frac{W\bigg(-\dfrac{\ln a}b\bigg)}{\ln a}$$

donde W es la función W de Lambert.