Hay un lazo cerrado en el plano complejo tal que para cualquier entero $x$, puedo encontrar un punto dentro del bucle que tiene cuerda número $x$?

Question

Hemos estado hablando de liquidación de los números en mi complejo, y también de Alexander polinomios y otros invariantes de nudos en mi Alg. La parte de arriba. por supuesto, y la pregunta vino a mí acerca de la posibilidad de escribir la ecuación de una curva cuyo interior se lleva en cada valor entero como la liquidación número.

Creo Stein frases como: Dado cualquier cerrada subsanables en la curva, para cualquier entero $x$ hay un punto de $a$ interior a la curva de la liquidación de número de $x$.

Me imagino como un ser infinitamente gruesa figura de "8", porque debe de bucle alrededor de sí mismo infinidad de veces en ambas direcciones, pero no estoy realmente seguro de que eso es posible. ¿Alguien tiene alguna idea? Yo he investigado básicos de textos complejos, como Stein o Alfors, pero sólo mencionar que dicha curva existe, no producen uno!

Answer 1

Explícito de parametrización:

$$\gamma(t) = \cases{\exp(1/t) (1 - \exp(-i/t^2)) & $-1/\sqrt{2\pi} \le t < 0$\cr 0 & $t = 0$\cr \exp(-1/t) (-1 + \exp(i/t^2)) & $0 < t \le 1/\sqrt{2\pi}$\cr}$$