En un abelian categoría, que hace a cada familia de subobjetos tienen una intersección?

Question

Estoy estudiando abelian categorías en Borceux, así que estoy usando las mismas definiciones como él. Ya he demostrado que la intersección de dos subobjetos siempre existe en un abelian categoría. Mi pregunta es : ¿la intersección de una familia infinita de subobjetos siempre existe en abelian categorías ? Mi intuición es "No", pero que no se puede encontrar ningún contraejemplo. Alguna ayuda?

Answer 1

Aquí es un contraejemplo. Deje $k$ ser su favorito de campo, y deje $C$ ser la categoría de "eventualmente constante" de las secuencias de espacios vectoriales sobre $k$. Es decir, un objeto de $C$ es una secuencia $(V_n)$ de espacios vectoriales sobre $k$ tal de que no existe $N$ que $V_n=V_m$ todos los $n,m\geq N$. Una de morfismos $(V_n)\to (W_n)$ $C$ es una secuencia de morfismos $T_n:V_n\to W_n$ tal de que no existe $N$ que $T_n=T_m$ todos los $n,m\geq N$.

Esta categoría es abelian, como los granos y cokernels sólo puede ser calculada coordinatewise. Ahora, considere el objeto de $A$ que es la constante de secuencia $(k)$. Para cada una de las $m$, tenemos un subobjeto $A_m$ $A$ cuyas $m$th plazo es$0$, pero todos los otros términos se $k$. La colección de subobjetos $A_{2m}$, entonces no tiene intersección en $C$. De hecho, si $(V_n)$ eran de una intersección, a continuación, $V_n$ tendría que ser $0$-dimensional para todos incluso a $n$ $1$- dimensiones para todos los impares $n$, lo cual es imposible. (Debe ser $1$-dimensiones para la extraño $n$ ya que disponemos de un subobjeto de $A$ cuyas $n$th plazo es $k$ y todos los demás términos se $0$, y este subobjeto se encuentra en todas las $A_{2m}$.)