Es posible decir si el potencial es ilimitado utilizando sólo la teoría de la perturbación?

Question

Un tipo muy común de problema inverso en la física matemática está tratando de entender el potencial de la mecánica cuántica sistema dada su dispersión de los datos. Tales problemas, aunque muy interesante, es muy difícil y generalmente mal planteado. Estoy tratando de entender un problema inverso que supongo que es particularmente simple.

Algunos mecánica cuántica modelos están claramente definidos, debido a que su potencial es ilimitado desde abajo (por ejemplo, $\phi^3$). Todavía, la teoría de la perturbación es generalmente bien definidos, al menos en el sentido de poder formal de la serie. Tan lejos como los diagramas de Feynman, las teorías de la $\phi^3$ $\phi^4$ no son fundamentalmente diferentes, aunque sólo el segundo representa una aproximación a un significativo no-perturbativa de la teoría. Lo mismo puede decirse acerca de estándar de la mecánica cuántica modelos tales como anarmónicos oscilador con cúbica y cuártica términos.

Suponga que se nos da una arbitrariamente grande, pero finito número de términos en la expansión perturbativa de, por ejemplo, la función de partición de un determinado sistema desconocidos. (Recordemos que el logaritmo de la función de partición representa el suelo de estado de energía, por lo que es, en principio, observable). Pregunta: ¿Podemos predecir si el potencial subyacente de una serie limitada de abajo?

En otras palabras, un único término en el perturbativa de la serie es cualitativamente idéntico en la delimitado y no delimitado caso. Pero, ¿y si hacemos zoom-out y mirar muchos de los términos? ¿El (truncado) de la serie contienen ninguna información que nos permite distinguirlos? O es que la serie realmente ajeno a la conducta de los potenciales lejos de la posición de equilibrio?

A mí me parece claro que a partir de una serie truncada podemos , en el mejor de predecir la probabilidad de que el potencial es limitado. El más términos, la mejor predicción (en el sentido de un intervalo de confianza). Siempre y cuando el número es finito, nunca podemos estar seguros de que el potencial está limitada o no. Pero hay una probabilístico estimador? o es realmente imposible predecir una probabilidad?

Answer 1

Espero que no sea una lectura errónea; yo creo que la respuesta es, sin duda ninguna. Digamos que tenemos un potencial $V(\phi)$.

• Teoría de la perturbación puede nunca ver nonanalytic cosas como $e^{-1/x^2}$. Así que si el potencial que tiene una pieza como $\phi\, e^{-1/\phi^2}$ no es limitada y nunca se puede decir de cualquier perturbación de la serie. Incluso un simple ejemplo sería, digamos, $\delta(\phi - \phi_0)$ para cualquier valor distinto de cero $\phi_0$.
• Incluso suponiendo que el potencial es analítica, cualquier finito de truncamiento se puede decir nada. Vamos $$V(\phi) = \sum_{n=0}^\infty c_n g^n \phi^n$$ donde $g$ es nuestra expansión de parámetro. Si ampliamos cualquier cantidad hasta el fin de $g^m$ sólo sabemos que los coeficientes de seguridad a $c_m$. Pero no importa si o no $$V_m(\phi) = \sum_{n=0}^{m} c_n g^n \phi^n$$ está delimitada desde abajo, porque es completamente abrumado por incluso sólo $c_{m+1}$ solo. Para cualquier distribución de probabilidad en el $c_n$ absoluto, mientras todos los $c_n$ puede ser tanto positivo como negativo y el $c_n$ son independientes, sabiendo que cualquier finito de truncamiento da exactamente cero información.
• Alternativamente, se podría utilizar un mucho más especial antes de la $c_n$. Por ejemplo, si somos de alguna manera sabía que el total sumado forma de $V(\phi)$ era, digamos, $$V(\phi) = (\text{finite order polynomial with } O(1) \text{ coefficients}) \times (\text{exponential})$$ entonces nos sería, de hecho, recoger un poco de información en cada orden de teoría de perturbaciones sobre si la exponencial fue creciendo o en descomposición. Sin embargo creo que es de sentido para asignar un previo fuera de cualquier contexto físico, para darnos una pista hacia lo que la UV finalización. Si hacemos especificar el contexto de su pregunta, básicamente, se reduce a 'todos los de la física de partículas' (es decir, todavía imposible) dado que la búsqueda de los rayos UV terminaciones de datos físicos es lo que el campo es todo acerca de.