¿Por qué es esta una incorrecta solución para "averiguar cuántas $4$números que son divisibles por $5$."?

Question

Problema: Encontrar la cantidad de 4-dígitos de los números son divisibles por 5.

Empecé a partir de dos hechos:

1. El número divisible por 5 termina con 0 o 5.
   
2. El número de 4 dígitos no se puede iniciar con 0.

A continuación, he calculado cuántas permutaciones final en 5 o en 0: dado que hay 4 marcadores de posición, si me pongo en el último 0 o 5, hay tres a la izquierda para ser llenados con cualquier dígito, por lo tanto, $2 \cdot 10^3=2000$ (I multiplicado por dos, ya que si el número termina en $0$ o $5$, $3$ marcadores de posición en el caso de $0$$5$).

Por lo tanto, hay en total $2000$ permutaciones que terminan en $0$ o $5$.

A continuación, he calculado cómo muchos de ellos comienzan con 0: puesto que, si ponemos 0 en primer lugar, hay 3 marcadores de posición a la izquierda, y cada uno de ellos puede contener hasta 10 dígitos, y llegamos a la conclusión de que no se $10^3=1000$ permutaciones que comienzan con $0$.

Entonces me resta el número de permutaciones que terminan en $0$ o $5$ el número de permutaciones que se inician con $0$: $2000-1000=1000$.

Y entonces llegué a la conclusión de que no $1000$ $4$-dígitos de los números que son divisibles por $5$.

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Pero la solución es en realidad $1800$, que es llegado a este: $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2=1800$. $9 \cdot 10 \cdot 10$ viene de que cuando el último marcador de posición se llena, hay tres marcadores de posición a la izquierda, cada uno de los cuales puede ser llenado con ninguna de las $10$ dígitos, excepto en la primera, que no puede contener $0$. Se multiplica por dos para ambos casos: $5$ en el último marcador de posición o $0$ en el último marcador de posición.

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¿Por qué es la forma en que me trató incorrecta?

Answer 1

A continuación, he calculado cómo muchos de ellos comienzan con 0: puesto que, si ponemos 0 en primer lugar, hay 3 marcadores de posición a la izquierda, y cada uno de ellos puede contener hasta 10 dígitos, y llegamos a la conclusión de que no se $10^3=1000$ permutaciones que comienzan con 0.

Aquí está su error: utilizar el "ellos" para referirse a la $2000$ cadenas que terminan en una $0$ o $5$, pero se procedió a calcular el número de $4$ dígitos cadenas de todos los $10,000$ cadenas de dígitos que comienzan con un $0$.

Para ver cómo muchas de las $2,000$ terminando con un $0$ o $5$ empezar con un $0$: dado que terminan con una $0$ o $5$, sólo tiene $2$ de posibilidades de que el último dígito, y $10^2$ para los otros dos, lo que hace un total de $200$ de los $2000$ que comienzan con un $0$

Answer 2

El número de números que comiencen con $0$ no $10^3$. Es $10\cdot10\cdot2$. Sólo debe restar los números que comiencen con $0$ que son divisibles por $5$, por lo que hay sólo dos opciones para el último dígito.

Answer 3

Tener en cuenta los cuatro números de un dígito: $0000-9999$.

Los números que terminan con $0$: $$***0 \Rightarrow n=10^3=1000.$$ Los números que terminan con $5$: $$***5 \Rightarrow n=10^3=1000.$$ Así que los números que terminan con $0$ o $5$$2000$.

Los números que comiencen con $0$ y terminando con $0$: $$0**0 \Rightarrow n=10^2=100.$$ Los números que comiencen con $0$ y terminando con $5$: $$0**5 \Rightarrow n=10^2=100.$$ Así que los números que comiencen con $0$ y terminando con $0$ o $5$$200$.

Por lo tanto, $2000-200=1800$.