Posibilidad de tres de los mismos consecutivos respuestas en A/B/C/D prueba

Question

Estoy mirando el siguiente problema:

¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos tres de los mismos consecutivos de respuestas correctas en un $n$-pregunta A/B/C/D de la prueba?

He empezado con $10$ preguntas mientras tratando de resolver esto, por lo tanto se $4^{10}$ secuencias posibles. Ahora nuestros tres mismos resultados puede comenzar en el primer hasta el octavo lugar ($n-2$) debido a que en el noveno lugar sería $9-10-11$. Para cada una de estas posibilidades puede ser $4^{10-3} = 4^7$ combinaciones de $7$ restantes posiciones. Así que eso es $8 \cdot 4^7$, y ahora tenemos que multiplicar por $4$ porque no puede haber tres o más Como, Bs, Cs o Ds. Que nos da $$\frac{8 \cdot 4^7 \cdot 4}{4^{10}}$$ which simplifies to $8/4^2 = 1/2 = 50\%$.

He comprobado el resultado prácticamente con el código de Python con $100,000$ intentos, y tengo alrededor de $38514/100000 = 0.38514 = 38.514\%$, que no es ni remotamente cerca de mi resultado.

¿Tiene usted alguna idea de dónde me salió mal?

Answer 1

Usted cuenta con pruebas en las que esto sucede varias veces. Por ejemplo, una prueba en la que todas las respuestas se $A$ son contados $8$ veces.

Answer 2

Como otros han señalado, usted cuenta con las pruebas varias veces. Una forma de abordar este problema es la siguiente. Imagino que la primera respuesta se $x \in \{A, B, C, D\}$. A continuación, la segunda respuesta es igual a $y \in \{A, B, C, D\} \setminus x$, o es igual a $x$. En el primer caso, la probabilidad de que la tercera respuesta no resulta en una secuencia de tres veces $x$ es igual a $1$, mientras que en el segundo caso, esta probabilidad es igual a $3/4$. Por lo tanto, obtener, para una secuencia de longitud $n$, que la probabilidad de $P(n)$ de la secuencia no contiene tres mismas respuestas en una fila es igual a:

$$P(n) = \frac{3}{4} \cdot 1 \cdot P(n-1) + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot P(n-2) = \frac{3}{4} P(n-1) + \frac{3}{16} P(n-2)$$

We know that $P(1) = P(2) = 1$, and we thus get:

$$P(3) = 0.9375$$ $$P(4) \approx 0.8906$$ $$P(5) \approx 0.8438$$ $$P(6) \approx 0.7998$$ $$P(7) \approx 0.7581$$ $$P(8) \approx 0.7185$$ $$P(9) \approx 0.6810$$ $$P(10) \approx 0.6455$$

The probability that there will be at least three consecutive right answers in a test containing ten questions with four possible answers thus equals:

$$1 - 0.6455 = 0.3545$$

Edit: The following Python code indeed results in a value of $0.3545$:

import itertools

c = 0
for test in itertools.product({1, 2, 3, 4}, repeat = 10):
    for i in range(8):
        if test[i] == test[i + 1] == test[i + 2]:
            c += 1
            break
print(round(c/(4 ** 10), 4))

Answer 3

Creo que una mejor manera de abordar este problema es contar el número de cadenas que no tienen tres respuestas a la misma. En lugar de tratar de calcular directamente, en la que participarán con nosotros en la doble contabilización, los problemas de la clase que ha encontrado, vamos a tratar de desarrollar una relación de recurrencia. Llamar a una cadena de caracteres a partir de {A,B,C,D} "bueno" si no hay tres personajes son los mismos, y deje $a_n$ el número de cadenas con $n$ personajes. Si conocemos $a_n$ podemos calcular $a_{n+1}?$

Desde el primer $n$ personajes de una buena longitud de la cadena de $n+1$ debe formar una buena cadena de longitud $n$, podemos añadir otro personaje para una buena cadena de longitud $n$ para obtener una buena cadena de longitud $n+1$, siempre que los dos últimos caracteres son diferentes. Por lo tanto, vamos a $s_n$ el número de cadenas de longitud $n$ que terminan en un solo carácter (es decir, los dos últimos caracteres no son lo mismo), y deje $d_n$ el número de cadenas de longitud $n$ que terminan en un doble carácter. Claramente, $$a_n=s_n+d_n\tag 1$$

Ahora, para tener una buena cadena de longitud $n+1$ sin un doble carácter de una buena cadena de longitud $n$, simplemente anexar cualquier carácter diferente a la de la última: $$s_n=3a_{n-1}=3(s_{n-1}+d_{n-1})\tag 2$$ Para obtener un duplicado de la cadena de longitud $n$ debemos añadir un carácter diferente a la de la última a una sola cadena de longitud $n-1$, de modo que $$ d_n=s_{n-1}\implica s_n=3a_{n-1}=3(s_{n-1}+s_{n-2})\etiqueta 3$$

Sabemos que $s_1=4$$s_2=12,$, por lo que podemos aplicar repetidamente $(3)$ a calcular los valores de $s_n$. Llegué $s_9=141264, s_{10}=535572,$, de la que me calcula la probabilidad de que tres consecutivos idénticos respuestas como $.3545188903808594\approx 35.45$%

Yo no garantiza la exactitud de estos cálculos, como no he comprobado cuidadosamente, pero son sin duda mucho más cerca de sus resultados experimentales.

Me refería a mencionar que es posible resolver la recurrencia de $s_n$ en forma cerrada, pero casi no vale la pena el esfuerzo para este problema.

Answer 4

Alternativamente, el problema puede ser formulado como un problema de calcular la probabilidad de absorción en una cadena de Markov.

Podemos asignar un estado a $i \in \{1, 2, 3\}$ a cualquier secuencia de caracteres de $\{A, C, B, D\}$ , lo que representa el hecho de que la última $i$ caracteres consecutivos son los mismos. Una vez que la cadena llega al estado $3$, la secuencia se clasifica como 'malo' y la cadena permanece en este estado. Una cadena tiene la matriz de transición $\mathbf{P} = \{p_{ij}\}$ donde $p_{ij}$ es la probabilidad de transición de$i$$j$,

$$ \mathbf{P} = \begin{pmatrix} 3/4 & 1/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

y la distribución inicial $p_1^T = (1, 0 , 0)$. Entonces $$p_{10}^T = p_1^T \, \mathbf{P}^{9} \approx (0.5108, 0.1347, 0.3545)^T. $$