La compactibilidad se mantiene gracias a las continuas supresiones.

Question

Deje que $f: X \to Y$ ser una continua conjetura entre dos topologías espacios. Muestra que $Y$ compacto es, dado que $X$ compacto es.

Mi intento :

Deje que $ \mathcal {G}$ ser una cubierta abierta de $Y$ . Entonces.., $ \bigcup \mathcal {G} = Y$ y

$$X = f^{-1}(Y) = f^{-1}( \bigcup\mathcal {G}) = \bigcup f^{-1}( \mathcal {G})$$

y porque $f$ es continua, de lo que se deduce que $f^{-1}( \mathcal {G})$ es una cubierta abierta de $X$ . Por su compacidad, existen $G_1 \dots ,G_n \in \mathcal {G}$ de tal manera que $X = \bigcup_ {i=1}^n f^{-1}(G_i)$ y por lo tanto $Y = \bigcup_ {i=1}^nf(f^{-1}(G_i)) = \bigcup G_i$ (aquí usamos eso $f$ es surjectiva) y concluimos que $\{G_i \mid i=1, \dots n\}$ es una subcapa finita de $ \mathcal {G}$ y deducimos que $Y$ es compacto.

¿Esto es correcto?

Answer 1

Sí, es correcto. Así es como lo habría hecho yo. Obsérvese que en ningún momento de la prueba la subjetividad de $f$ se menciona. Sin embargo, lo utiliza (implícitamente) al suponer que $f\bigl(f^{-1}(\mathcal{G}_i)\bigr)=\mathcal{G}_i$ .