¿Históricamente, había dos ramas, diferencial e integral, verdad? ¿Sólo formaron un cálculo unificado después del descubrimiento del Teorema Fundamental del Cálculo?
Hoy en día, ¿se investigan todavía las dos ramas de forma independiente una de la otra?
Cálculo simplemente significa una forma de calcular. Hay muchos tipos de cálculo, algunos de los cuales son modernos y actualmente estudiados activamente (por ejemplo, cálculo funcional, cálculo umbral, cálculo de diferencias), mientras que otros son más o menos completamente comprendidos. El cálculo diferencial e integral, es decir, la "secuencia de cálculo" estándar, cae en la última categoría. Nota: el análisis matemático es un campo de estudio muy activo, pero consiste en generalizaciones y aplicaciones de la secuencia de cálculo.
También existen tipos de cálculo abandonados, como técnicas para calcular raíces cuadradas a mano ejemplo, que solían enseñarse como la división larga en la escuela.
Depende de a qué te refieras cuando usas el término "cálculo".
El cálculo proviene de la palabra latina que significa pequeña piedra utilizada para el cálculo, y se utiliza no solo para referirse al cálculo diferencial e integral como describes. Hay muchos otros campos que tienen el nombre "cálculo" para describir métodos de cálculo, como el cálculo proposicional, el cálculo lambda, etc. Antes del "cálculo" estándar, el término se usaba ampliamente para referirse a cualquier campo de las matemáticas.
Pero en el ámbito del cálculo diferencial e integral, estás en lo correcto; la idea de cambio infinitesimal y suma infinitesimal precede en siglos a Newton y Leibniz. El Teorema Fundamental del Cálculo se desarrolló solo en los siglos XVII y XVIII para conectar estas ideas. Introducido por precursores de Leibniz y Newton, fue refinado por estos dos. El "cálculo" estándar luego fue rigurosizado por figuras posteriores con la definición de límites como se usan en las derivadas, en contraposición a las "razones infinitesimales" presentadas por Leibniz.
¿Históricamente, existían dos ramas verdad? ¿Diferencial e integral? ¿Solo se unieron en un cálculo unificado después del descubrimiento del Teorema Fundamental del Cálculo?
¿Hoy en día las dos ramas todavía se investigan de forma independiente la una de la otra?
En general, hay dos ramas, diferencial e integral, pero en realidad no son dos ramas separadas. La derivada y la integral son inversas la una de la otra, como la multiplicación y la división. El cálculo tuvo dos descubridores independientes, Newton y Leibniz. A Newton se le atribuye el mérito de ser el primero en descubrir el cálculo. Con Newton, el cálculo integral vino primero, lo que él llamó fluxiones, y el diferencial vino después. Newton usó fluxiones (lo que llamamos el teorema fundamental) para calcular el área bajo las curvas. Fluxiones fue derivado inicialmente del teorema binomial de Newton. Leibniz, sin embargo, descubrió el cálculo diferencial antes que el integral, según lo que sabemos, ya que su tratado sobre cálculo diferencial se publicó algún tiempo antes que su tratado sobre cálculo integral. Aunque Leibniz publicó sus hallazgos antes que Newton, a Newton se le atribuye el mérito de ser el primero en descubrir el cálculo. Newton tardó mucho en publicar, pero su trabajo precedió al de Leibniz. Obtenemos nuestra notación actual (dy/dx, etc) de Leibniz. También obtenemos el signo integral de Leibniz. Viene de la palabra latina summa, que significa suma. Cálculo en sí es una palabra latina que significa guijarro, utilizada para cálculos en tiempos antiguos, como se mencionó en una publicación anterior.
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En cierto sentido, sí, la diferenciación y la integración todavía se estudian por separado. Las integrales modernas tienden a involucrar más teoría de la medida (comúnmente, la integral de Lebesgue). Ciertos Espacios de Banach permiten obtener una "derivada de Radon-Nikodym" de una medida con respecto a la otra, y se define puramente en términos de la integral. ¡Compara y contrasta con una integral indefinida (Riemann), que se define puramente en términos de la derivada!
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Para mediados del siglo XX estaba claro que tanto los procesos de integración como de diferenciación eran ejemplos muy importantes de mapas lineales continuos (desde un espacio vectorial topológico de funciones a un espacio vectorial topológico posiblemente diferente de funciones. Aunque algunas partes del plan de estudios estándar conservan una supuesta separación entre "integración" y "diferenciación", esto se debe principalmente a la inercia en lugar de al contenido científico.