Deje $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$ $y_1 < y_2 < \ldots < y_n$ dos secuencias de $n$ números reales. Es bien sabido que existen polinomios que "interpolar" en ese $f(x_i)=y_i$ todos los $i$, y el de la interpolación de Lagrange polinomio incluso garantiza una solución de grado $ < n$. Ahora, ¿qué pasa si queremos que la polinomio $f$ a ser no decreciente en el intervalo de $[x_0,x_n]$ ? Hay siempre una solución, y es que hay un límite en el grado también ?
Respuestas
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Este problema ha aparecido antes en la literatura y ahora se entiende bien, supongo. La versión general es cuando usted no tiene ninguna restricción en el $y_i$'s y pide una interpolación polinomial que es monotono en cada sub-intervalo de $[x_ix_{i+1}]$. El primer documento en que se acredite la existencia de un polinomio es:
W. Wolibner, "Sur de la onu, polynom d'interpolation", Colloq. Matemáticas (2) de 1951, 136-137
pero es un no-constructiva de la prueba, como se utiliza la aproximación de Weierstrass teorema mucho como la respuesta dada por Harald Hanche-Olsen arriba. Otra prueba para el caso de $0=y_0\le \cdots \le y_n=1$ se da en "Polinomio Aproximaciones a Finitely Oscilante de Funciones" por W. J. Kammerer (Teorema 4.1) y la no-constructiva aspecto de su prueba de ello es el uso de convergencia uniforme apropiado de los polinomios de Bernstein. En "Trozos monotono polinomio de interpolación", SW Jóvenes, demuestra que el mismo teorema y hace el comentario final de que la existencia de tales monotonía de la interpolación polinómica es de hecho equivalente al teorema de Weierstrass. Por otro lado Rubinstein tiene algunos artículos dedicados a la prueba de la existencia de polinomios de interpolación que están aumentando en todos los de $\mathbb R$.
El primer papel que le da a los límites de los grados es, creo,
E. Passow, L. Raymon, "El grado de trozos monotonía de interpolación", que es aquí
y una mejora se hace en "estimación Exacta de la monotonía de interpolación" de G. L. Iliev. Tenga en cuenta que los límites están en condiciones de $$A=\max \Delta y_i=\max (y_{i}-y_{i-1}) \qquad B=\min \Delta y_i \qquad C=\min \Delta x _i$$
Y no uniforme obligado existe.
Danimal
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Para agregar a Gjergji Zaimi informativo respuesta: es fácil ver que el grado no puede ser delimitada en términos de $n$ solos, incluso cuando se $n=3$.
Supongamos que queremos $f$ grado $m$ tal que $f(0)=0$, $f(1)=\epsilon$, y $f(2)=1$, e $f$ es el aumento en $[0,1]$ donde $\epsilon>0$ es pequeña. A continuación,$|f(k/m)| \le \epsilon$$k=0,\ldots,m$, por lo que la interpolación de Lagrange de la fórmula muestra que fija $m$, los coeficientes de $f$$O(\epsilon)$, lo $f(2)$ $O(\epsilon)$ y no puede ser $1$ si $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño. En otras palabras, el grado de cualquier solución de $f$ debe crecer como $\epsilon$ encoge.
Flávio Amieiro
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No sé si esto ha sido estudiado, pero al menos si te olvidas de un límite en el grado, un mazo enfoque le da una respuesta positiva. Por simplicidad, suponga $x_i\in[0,1]$ y proceder por inducción en $n$, con la inducción de la hipótesis de la existencia de un aumento de la interpolación polinómica $p_n$. Para llegar desde $n-1$$n$, vamos $$p_n(x)=p_{n-1}(x)+(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})q_n(x)$$ where $q_n$ is a polynynomial to be determined. Given $p_{n-1}'(x)>\epsilon>0$ we have a little wiggle room: We merely need $|q_n(x)|$ and $|q_n'(x)|$ to be very small for $0<x<x_{n-1}$ (exactly how small left as an exercise) and $q_n'(x)>0$ for $x_{n-1}<x<1$. To achieve this, write $$q_n(x)=\int_0^x r_n(x)$$ and use the Weierstrass approximation theorem to let $r_n$ approximate a suitable continuous function. Adjust with a positive multiplicative constant to hit $p_n(x_n)=y_n$ exactamente.
El lector astuto se dará cuenta de un problema con esto: Si $p_{n-1}(x_n)\ge y_n$, esta receta se pierde. Así que tenemos que asegurarnos de que $r_{n-1}$, después de disparar a una agradable gran valor en torno a $x_{n-1}$, llega rápidamente a un valor pequeño para tener esto no suceda. Esto complica la prueba bastante bien, y yo no estoy dispuesta a trabajar a través de los detalles. Yo estaría interesado en escuchar acerca de los punteros a la literatura.
Issac Kelly
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123
Me encontré con el artículo de Poderes y Reznick "Polinomios que son Positivas en el intervalo" http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.120.9773&rep=rep1&type=pdf
En particular, apuntan a un teorema de Schmudgen que proporciona una caracterización de polinomios positivos sobre un conjunto compacto.
