Es un módulo que es isomorfo a su doble necesariamente libre?

Question

Supongamos $M$ es un finitely módulo generado más de un integrante del dominio $R$. Si hay una forma bilineal $\langle-,-\rangle:M\times M\rightarrow R$, lo que induce un isomorfismo $M\rightarrow \text{Hom}_R(M,R)$ través $m\mapsto \langle m,-\rangle$, es posible concluir que $M$ es un servicio gratuito de $R$-módulo?

Answer 1

Usted puede considerar el caso particular $M$ un ideal de a$I$$R$. A continuación, el doble de $I$ $R$ submódulo de $K$ (el campo de fracciones) $$(R:I) = \{ \alpha \in K \|\ \alpha I \subset R\}$$

Ahora, es posible que un ideal $I$ no principal, pero en la plaza se $I^2$ es la directora. Que debe dar un contraejemplo. Véase también el ejemplo de un no trivial de los grupos de la clase