Dejemos que $I = (3+\sqrt{3})$
Si observamos la norma de campo, observamos que $N(3 + \sqrt{3}) = 6$ . También sabemos que $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ es un dominio euclidiano.
Queremos encontrar algún $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ s.t. $\alpha \cdot \beta = 3 + \sqrt{3}$ . Esto requiere $N(\alpha)\cdot N(\beta) = 6$ .
Así que $N(\alpha) \in \{\pm 2\}$ y $N(\beta) \in \{\pm 3\}$ .
$N(a+b\sqrt{3}) = a^2 - 3b^2 = -2$ cuando $\alpha = 1 - \sqrt{3}$ que no es una unidad ya que $N(\alpha) \neq 1$ . Entonces tenemos $N(c + d\sqrt{3}) = c^2 - 3d^2 = -3$ cuando $\beta = -3 - 2\sqrt{3}$ que también es una no unidad.
Entonces vemos $\alpha\cdot\beta=(1-\sqrt{3})(-3-2\sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3}$
Como se trata de una factorización no trivial de $3+\sqrt{3}$ entonces vemos que $(1-\sqrt{3})\cdot(-3-2\sqrt{3})\in I$ .
Queda por demostrar que ni $\alpha$ o $\beta$ están en $I$ .
Tomando $\frac{1-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{6} = \frac{(3-\sqrt{3} - 3\sqrt{3} +3)}{6} = \frac{-4\sqrt{3}}{6}$ que no está en $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ . Así que habrá algún resto que implique que $\alpha$ no está en $I$ .
Haciendo lo mismo calculamos $\frac{-3-2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{-3-\sqrt(3)}{6}$ . Una vez más, se obtendrá un resto por lo que concluimos que ambos $\alpha$ y $\beta$ no están en $I$ Sin embargo $\alpha \cdot \beta \in I$ .
Así, $(3+\sqrt{3})$ no es primo.
¿Es correcto este intento? ¿Hay una forma más corta de hacerlo?
