Hay matrices que $(AB-BA)^{71}=I_{69}$?

Question

Hay matrices $A,B \in \mathcal{M}_{69}(\mathbb{C})$ tal que $$(AB-BA)^{71}=I_{69}?$$ Aquí $I_{69}$ indica el $69 \times 69$ matriz con $1$ en su diagonal principal y $0$ en todas las demás.

Mi fuerte creo que no hay. Deje $C=AB-BA$. A continuación,$\text{tr }C=0$$\text{tr }C^{71}=69$. Si $\lambda$ es un autovalor de a$C$,$\lambda^{71}=1$. Así \begin{align*} \lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_{69}=0 \\ \lambda_1^{71}+\lambda_2^{71}+\dots+\lambda_{69}^{71}=69 \end{align*} Creo que algunos contradicción puede venir de aquí, pero yo no lo veo todavía.
También he tratado de trabajar con polinomios. Si $p=X^{71}-1$,$p(C)=0$. Si hemos trabajado en $\mathcal{M}_{69}(\mathbb{Q})$ habría sido más fácil debido a que el polinomio mínimo de a $C$ divide $p$ y desde $(X-1)$ es el único factor irreductible de $p$ con grado menor o igual a $69$, tendríamos que el polinomio mínimo de a$C$$(X-1)$$C=I_{69}$, lo que conduce a una contradicción después de la aplicación de seguimiento.

Answer 1

Deje $C=AB-BA$, e $P_C$ ser el polinomio mínimo de a $C$.

Desde $P(C)=C^{71}-I=0$ obtenemos $P(x)=Q(x).P_C(x)$, pero $P$ dividir en factores lineales y plaza libre de polinomios, en el modo en $P_c$, en particular, observamos que el espectro de $C$ es un subconjunto de $$\{1, Z,Z^2,\dots ,Z^{70} \}$$ where $Z=e^{\frac{2\pi}{71}}$. Usando ese $\operatorname{Tr}(C)=0$ somos, $$ 0=\operatorname{Tr}(C)=\sum_{n\leq 70}\epsilon_nZ^n $$ Donde $\epsilon_n\in \mathbb{N}$, de tal manera que $\sum \epsilon_n=69$. pero desde $71$ es primo, el polinomio mínimo sobre el campo de los números racionales de $Z$ (i.e) la Cyclotomic polinomio es $\Phi_n(x)=\sum_{i=0}^{70} x^n$. lo que contradice nuestra traza de la ecuación.