Es evidentemente falso que
En cualquier otro tipo de morfismo, la calidad de marcado del morfismo está garantizada para el inverso
Esto puede ser cierto para los que conoces, pero está lejos de ser la norma.
Para empezar, es posible que la noción de "biyección" ni siquiera tenga sentido en la categoría en la que trabajas. Hay muchos ejemplos.
Mira la categoría de espacios, donde los objetos son conjuntos, pero un morfismo de $A$ a $B$ es un par de funciones $A \gets C \to B$ . ¿Qué significa que dicho morfismo sea biyectivo? Se podría decir que "ambos mapas son biyectivos", pero eso ya es una exageración.
Mira el groupoide fundamental de un espacio $X$ . Los objetos son puntos de $X$ y los morfismos son clases de homotopía de caminos. ¿Qué significa que una clase de homotopía de caminos sea "biyectiva"? No tengo ni idea.
Mira la categoría de Fukaya de un colector simpléctico $M$ (ver esta respuesta ). Los objetos son submanifolds lagrangianos de $M$ y los morfismos son puntos de intersección del Lagrangiano. ¿Qué significa que un punto de intersección sea "biyectivo"?
Luego está la cuestión de que, aunque se pueda dar sentido a "biyectivo", puede ser falso que "homomorfismo biyectivo = isomorfismo". Ya tienes el ejemplo de los espacios topológicos y los mapas continuos. Aquí tienes otros.
Consideremos los espacios vectoriales normados. Tomemos $L^1 = (C^\infty([0,1]), \|-\|_1)$ y $L^2 = (C^\infty([0,1]), \|-\|_2)$ . Gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el mapa de identidad $L^2 \to L^1$ es un morfismo de espacios normados. La identidad es eminentemente biyectiva, pero $L^1$ no es isomorfo a $L^2$ porque no hay ningún morfismo inverso.
Pero se podría decir que "los espacios normados no son muy algebraicos". Bien, aquí hay un ejemplo que parece algebraico (algunos pueden no estar de acuerdo). Consideremos la categoría de conjuntos parcialmente ordenados, donde los morfismos son mapas que conservan el orden. Aquí no hay mucha topología. Dejemos que $X = \{x,y,z\}$ con $x<y$ y $x<z$ (pero no se puede comparar $y$ y $z$ ), y $A = \{a,b,c\}$ con $a<b<c$ . Entonces existe una biyección que preserva el orden $f : X \to A$ dado por $f(x) = a$ , $f(y) = b$ y $f(z) = c$ . Pero $f$ no es un isomorfismo, porque no existe un morfismo inverso.
Y, por si acaso, he aquí un contraejemplo de la "inversa" (que se encuentra en el artículo de Wikipedia ). Consideremos la categoría cuyos objetos son Complejos CW (una clase especial de espacios topológicos), y los morfismos son clases de homotopía de mapas continuos. Entonces es posible que dos complejos CW sean isomorfos en esta categoría sin estar siquiera en biyección como conjuntos. Por ejemplo, $\{0\}$ y $[0,1]$ son isomorfas, porque ambas son contractibles, pero no existe una biyección entre $\{0\}$ y $[0,1]$ .
Si quieres un ejemplo algebraico de esto, considera el categoría derivada de complejos de cadenas de grupos abelianos. Entonces $0$ no está en biyección (en cada grado) con el complejo de cadenas $\dots \to \mathbb{Z} \xrightarrow{=} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{=} \mathbb{Z} \to 0$ pero ambos son isomorfos en la categoría derivada.
Derek Elkins mencionado en los comentarios que si su categoría está equipada con un functor "olvidadizo" $U : \mathcal{C} \to \mathsf{Set}$ (de ahí que se pueda dar sentido a las "biyecciones") que es monádico entonces $U$ refleja los isomorfismos, es decir, si $U(f)$ es una biyección, entonces $f$ es un isomorfismo. Pero ahora ves que se trata de una propiedad muy especial: tu functor $U$ tiene que satisfacer la condición especial de "ser monádico". Este no es el caso de todos los funtores, ni mucho menos. Además, un funtor razonable $U$ puede que ni siquiera exista...
Así que para concluir, "morfismo biyectivo = isomorfismo" es la excepción no la norma. Esto es muy importante de recordar. Para responder a tu pregunta, los "mapas continuos" no son "más débiles", son "como siempre", y los morfismos en entornos algebraicos son en realidad más agradables de lo habitual. Pero incluso algo que "parece" algebraico puede no satisfacer esta condición - véase el ejemplo de los posets más arriba.
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A functor monádico $U:\mathcal D\to\mathcal C$ refleja los isomorfismos . En el caso $\mathcal C=\mathbf{Set}$ Esto incluye la mayoría de las cosas que consideramos algebraico y, en particular, todos los variedades de álgebras .
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Aunque esto podría interpretarse como algo superficial, creo que la respuesta está en cómo definimos cada propiedad. Por definición, un mapa $f: X \to Y$ de espacios es continua si cada conjunto abierto en $Y$ tiene una preimagen abierta en $X$ . Sin embargo, esto no implica en absoluto que la imagen de un conjunto abierto en $X$ es un conjunto abierto en $Y$ , que es lo que debe sostener un homeomorfismo. Por lo tanto, tenemos que añadir la hipótesis de continuidad para el mapa inverso. En cambio, las propiedades algebraicas se mantienen fácilmente para los inversos, como ya has dicho.