Notación: Vector que contiene un elemento igual a 0

Question

Tengo un vector de $v \in \mathbb{R}^n$ y estoy en busca de una notación matemática para una función que devuelve $1$ si al menos uno de los vectores de elementos de es $0$ $0$ lo contrario. El análogo de la función por un conjunto de $S$ sería: $$f = \begin{cases} 1 & \text{if } 0 \in S \\ 0 & \text{if } 0 \notin S \end{casos}$$ Sin embargo, estoy luchando para encontrar una notación similar para un vector. En particular, ¿cómo puedo escribir: "Si cualquier elemento $v$$0$"?

Answer 1

Es mejor escribir en palabras: $$f(v) = \begin{cases} 1&\text{when at least one component of %#%#% is zero}\\ 0&\text{otherwise}. \end{casos}$$ Esto es perfectamente válida la notación matemática. El uso de símbolos no la hace mejor que el uso de las palabras. Con palabras se puede decir directamente lo que quiere decir que en lugar de tomar un desvío innecesario.

Si alguien insiste en el uso de símbolos (en orden para la función de ser implementados en una máquina), se puede sustituir "cuando al menos un componente de $v$ es cero" por "$v$". Que todavía legible, pero creo que la versión en palabras que es mejor para comunicarse con la gente.

Answer 2

Si $\prod_{i=1}^nv_i=0$, $f(v)=1$ lo contrario $f(v)=0$. Para una representación compacta, puede utilizar la función de indicador $\mathbf 1_E$ de un evento $E$. Definir el evento $E$ a ser el caso de que $\prod_{i=1}^n v_i=0$. A continuación, $$f(v)=\mathbf 1_E

Answer 3

Estoy de acuerdo con @Joonas Ilmavirta que es probablemente mejor para escribir en palabras.

Sin embargo, uno puede hablar sobre el apoyo de un vector, es decir, $$\operatorname{supp}(v)=\{i\in[n]\, |\, v_i \neq 0\},$$ donde $[n]=\{1,\ldots,n\}$. Esta es una opinión ampliamente aceptada de la terminología.

En particular, $$\text{"If any element of $v$ is $0$"}$$ se convierte en $$\text{"If $\operatorname{supp}(v)\neq [n]$"}$$

Answer 4

Hay una distinción entre un vector y sus coordenadas. Un vector no tiene elementos; mientras que los vectores son a menudo representados por una tupla de números, los números son simplemente la proyección del vector sobre varios ejes, no los "elementos". Sólo porque una de las coordenadas es cero, eso no significa que 0 es "en" v, sólo significa que uno de los ejes que usted eligió es perpendicular a v. Si quieres saber si una tupla que contiene el cero, es una manera de tomar el producto; el producto de una tupla que contiene el cero a cero. Hay un término "signo de la función" (que no debe confundirse con "sine") que devuelve cero si x = 0, -1 si x<0, y 1 si x>0. Así que si se denota la proyección sobre la i-ésima eje con $\pi_i$, luego

$f(\textbf{v}) = 1-|sgn(\prod_{i=1}^n \pi_i(\textbf{v}))|$

También puede escribir como

$f= 1_{\{\textbf{u} : \exists i :\pi_i(\textbf{u})=0\}}$

Explicación:

$\{\textbf{u} : \exists i :\pi_i(\textbf{u})0\}$ significa "El conjunto de vectores de la que al menos una función de proyección de resultados en cero cuando se aplica el vector".

La notación $1_S$ representa una función que da 1 si el argumento es en el conjunto S, y 0 en caso contrario. Por lo $1_{\{\textbf{u} : \exists i :\pi_i(\textbf{u})=0\}}$ da 1 si alguna de las coordenadas es cero, y 0 en caso contrario.

Tenga en cuenta que esto depende de lo que el $\pi_i$; es decir, qué sistema de coordenadas que usted escoja afectará si hay ceros en el vector de la representación.

Answer 5

Usted podría estar interesado en la $0$-norma, que se define aquí como $\|\cdot\|_0 : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ dada por

$$\|(x_1, \ldots, x_n)\|_0 = \text{ number of nonzero entries $x_i$} = \sum_{x_i \ne 0} 1$$

En este contexto, su función está dada por

$$f = \chi_{\|\cdot\|_0^{-1}(\{0, 1, \ldots, n-1\})}$$

donde $\chi_{\|\cdot\|_0^{-1}(\{0, 1, \ldots, n-1\})}$ es el indicador de la función del conjunto $$\|\cdot\|_0^{-1}(\{0, 1, \ldots, n-1\}) = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x\|_0 \le n-1\} = \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n : x_i = 0 \text{ for some } i\}$$

Usted puede escribir aún más corto:

$$f(x) = \operatorname{sign}(n-\|x\|_0)$$