Un muy elegante y clásico ejercicio de Cálculo (serie infinita) es la siguiente:
Si la falta de secuencia negativa {an} es decreciente y ∑∞n=1an<∞,nan→0.
Para mostrar este observar que, si ∑n≥n0an<ε/2, entonces para de n≥2n0+1, ε2>a⌊n/2⌋+⋯+an≥12nan≥0.
Esto, en un sentido, está relacionado con el hecho de que ∑1n=∞. Para ir un paso más allá, ya que ∑1nlogn=∞, podemos obtener, con los mismos supuestos en {an},nlognan→0?
Esta conjetura tiene con la suposición de que bn=nan también está disminuyendo. Para ver esto, vamos a n0∈N, de tal manera que ∑n≥n0an<ε. A continuación, para n≥n20, tenemos ε>∑√n≤k≤nan≥⌊log2√n⌋∑ℓ=1⌊2ℓlog2√n⌋∑k=⌊2ℓ−1log2√n⌋+1ak≥⌊log2√n⌋∑ℓ=1(2ℓ−1log2√n−1)a⌊2ℓlog2√n⌋≥⌊log2√n⌋∑ℓ=1(12⌊2ℓlog2√n⌋−1)a⌊2ℓlog2√n⌋≥⌊log2√n⌋∑ℓ=1(12n−1)an≥(log2n−1)(12n−1)an. Por lo tanto, (log2n−1)(12n−1)an→0, lo que implica que nlognan→0.
Un paso más allá: Si an>0, ∑n=1∞an<0 an, y las secuencias de nan nlognan están disminuyendo, entonces nlognloglognan\a0.