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Si an0 n=1an<, ¿esto implica que nlognan0?

Un muy elegante y clásico ejercicio de Cálculo (serie infinita) es la siguiente:

Si la falta de secuencia negativa {an} es decreciente y n=1an<,nan0.

Para mostrar este observar que, si nn0an<ε/2, entonces para de n2n0+1, ε2>an/2++an12nan0.

Esto, en un sentido, está relacionado con el hecho de que 1n=. Para ir un paso más allá, ya que 1nlogn=, podemos obtener, con los mismos supuestos en {an},nlognan0?

Esta conjetura tiene con la suposición de que bn=nan también está disminuyendo. Para ver esto, vamos a n0N, de tal manera que nn0an<ε. A continuación, para nn20, tenemos ε>nknanlog2n=12log2nk=21log2n+1aklog2n=1(21log2n1)a2log2nlog2n=1(122log2n1)a2log2nlog2n=1(12n1)an(log2n1)(12n1)an. Por lo tanto, (log2n1)(12n1)an0, lo que implica que nlognan0.

Un paso más allá: Si an>0, n=1an<0 an, y las secuencias de nan nlognan están disminuyendo, entonces nlognloglognan\a0.

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Himanshi Puntos 11

Un contraejemplo es dada por an=1k2ek2 al e(k1)2n<ek2. A continuación, el número de términos de igual a 1/(k2ek2) está acotada arriba por ek2, lo nank1/k2<, pero cuando se n es ligeramente menor que ek2, nlognan1, por lo nlognan.

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Davide Giraudo Puntos 95813

En realidad, no hay nada específico con \log n: lo mejor que podemos decir es que el n\cdot a_n\to 0.

Deje \left(R_n\right)_{n\geqslant 1} ser una secuencia de la no-los números negativos se extiende hacia el infinito. Entonces existe un no-disminución de la secuencia de la no-números negativos \left(a_n\right)_{n\geqslant 1}tal que \sum_{n=1}^{+\infty}a_n es finito, sino \left(nR_na_n\right)_{n\geqslant 1} no converge a 0.

De hecho, vamos a \left(N_k\right)_{k\geqslant 1} será cada vez más una secuencia de números enteros tales que a R_{N_{k+1}} \geqslant k^2 todos los k\geqslant 1. Si N_k\lt n\leqslant N_{k+1}, vamos a a_n:=\frac 1{k^2N_{k+1}}. Entonces \sum_{k=1}^{+\infty}\sum_{n=N_k+1}^{N_{k+1}}a_n=\sum_{k=1}^{+\infty}\sum_{n=N_k+1}^{N_{k+1}}\frac 1{k^2N_{k+1}}= \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{N_{k+1}-N_k}{k^2N_{k+1}}\leqslant \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}<+\infty y para todos los k\geqslant 1, N_{k+1}R_{N_{k+1}}a_{N_{k+1}}=\frac 1{k^2}R_{N_{k+1}}\geqslant 1.

Si queremos estrictamente a la disminución de la secuencia, añadir a a_n a un plazo b_n la cual se reduce a 0 que \sum_{n\geqslant 1}nR_nb_n es finito.

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