Puede el producto de un número infinito de elementos de $\mathbb Q$ ser irracional?

Question

Sé que hay infinitas sumas de racional de los valores, que son irracionales (por ejemplo, el Problema de Basilea). Pero me preguntaba, si el producto de un número infinito de números racionales puede ser irracional. Gracias por sus respuestas.

Answer 1

Sí, se puede.

Considere la posibilidad de cualquier secuencia $(a_n)$ de los no-cero de los números racionales que converge a un número irracional. Luego de definir la secuencia de $b_n$ $b_1 = a_1$ y $$ b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}} $$ para $n > 1$.

Entonces tenemos que $$ b_1 b_2 \cdots b_n = a_1 \frac{a_2}{a_1} \frac{a_3}{a_2} \cdots \frac{a_n}{a_{n-1}} = a_n. $$

Así vemos que cada término de $(b_n)$ es racional, y que el producto de los términos de $(b_n)$ es el mismo que el límite de $a_n$, que es irracional.

Answer 2

Sí, cada número irracional es un infinito producto de racionales.

Podemos escribir una infinita suma de racionales como un infinito producto de racionales.

$$\begin{align} a&=a,\\ a+b&=a\times\frac {a+b}{a}\\ a+b+c &= a \times \frac {a+b}{a}\times\frac {a+b+c}{a+b}\\.\\.\\.\\.\end{align}$$

Por ejemplo, $$\sqrt 2 =1.414213....=1+.4+.01+.004+.....=$$

$$ 1\times \frac {1.4}{1}\times \frac {1.41}{1.4}\times\frac {1.414}{1.41}\times .....$$

Answer 3

Sí!

$\cfrac{\pi}{2} = \cfrac{2}1 \cfrac 23 \cfrac 43 \cfrac 45 \cfrac 65 \cfrac 67 \cdots$

Answer 4

Demasiado grande para ser un comentario: cabe señalar que el orden es más crucial en infinidad de productos que en infinitas sumas de dinero, que es muy visto en el ejemplo citado muchas veces ya:

\begin{align*}\cfrac{\pi}{2}&=\cfrac{2}1 \cfrac 23 \cdot \cfrac 43 \cfrac 45 \cdot\cfrac 65 \cfrac 67\cdot \ldots\\ &= \cfrac{2^2}{2^2-1}\cdot \cfrac{4^2}{4^2-1}\cdot \cfrac{6^2}{6^2-1}\ldots\\ \end{align*} es un infinito producto con parciales de partida en $\frac43$ y cada vez mayor hacia la $\frac\pi 2$ (a cada factor es mayor que $1$), mientras que el aparentemente idénticos

\begin{align*}0&=\cfrac{2}3 \cfrac 23 \cdot \cfrac 45\cfrac 45\cdot\cfrac 67 \cfrac 67 \cdot\ldots\end{align*}

se inicia por debajo del $1$ y disminuye, hacia la $0$. Todo lo que ocurrió fue un cambio de denominadores un paso a la izquierda.

Answer 5

Considerar la Riemann Zeta Función: $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\prod_{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{s}}. $$ Para $s=2$, la infinita suma de la izquierda es $\pi^{2}/6$, que es irracional. Por lo tanto, $\pi^{2}/6$ es un infinito producto de racionales.