Heegaard la división de una 3-variedad con frontera

Question

Un Heegaard división de un cerrado orientable 3-colector $M$ $M=H \cup H'$ donde $H$ $H'$ son handlebodies.

¿Hay algún concepto similar para orientable de 3-variedades con los límites?

Answer 1

La respuesta es sí. La descomposición de la $3$-colectores mediante la compresión de los cuerpos en vez de handlebodies resultados en "generalizado Heegaard escisiones."

Si usted sigue el enlace a la compresión del cuerpo de la página de la Wikipedia, verás dos definiciones de "compresión de cuerpo". Para la definición generalizada de Heegaard dividir, yo voy a usar esto: una compresión del cuerpo $C$ se define como sigue. Tome una superficie cerrada $\Sigma$ y se cruza con el intervalo de $[0,1]$. Esto tiene dos componentes del borde: $\partial_+ = \Sigma\times\{0\}$$\partial_- = \Sigma\times\{1\}$. Ahora agregue algún número (posiblemente cero) de $2$-maneja a $\partial_-$ y, a continuación, agregue algunos (posiblemente no) $3$-maneja a $\partial_-$ (es decir, el componente de los límites de la $\Sigma\times[0,1]\cup(\mbox{ 2-handles }$ no $\partial_+$). Lo que queda es una compresión del cuerpo $C$. Tomamos $\partial_+$ $\Sigma\times\{0\}$ $\partial_-$ a ser el complemento de $\partial_+$$\partial C$. (Tenga en cuenta que nosotros no requieren $\Sigma$ a ser conectado.)

(Útil para las imágenes, consulte la página. 5 de las notas por Saito-Scharlemann-Schultens a continuación).

Un generalizada Heegaard la división de una $3$-colector $M$ es una descomposición de la $M$ en la compresión de los órganos de $C_0,C_1,C_2,\ldots,C_n$, de modo que $\partial_- C_{2i} = \partial_- C_{2i-i}$ (y posiblemente algunos componentes del borde de $M$), y $\partial_+ C_{2i} = \partial_+ C_{2i+1}$.

Si tenemos $n=1$$\partial M = \emptyset = \partial_- C_0 = \partial_- C_1$, entonces la generalización de Heegaard la división es un Heegaard división.

Como usted probablemente sabe, Heegaard escisiones puede surgir mediante el examen de una función de Morse $f$ sobre cerrado, $3$- colector $M$ con todos los índices $0$ $1$ valores críticos de menos de la totalidad de los índice de $2$ $3$ valores críticos (por ejemplo, un auto de indización de Morse de la función). Tomar algunas regular el valor de $x_0$ tal que $x_0$ es mayor que el índice de $0$ $1$ valores críticos y menor que el índice de $2$ $3$ valores críticos. A continuación, $f^{-1}(x_0)$ es un Heegaard superficie para $M$, con el subnivel conjunto de $x_0$ uno handlebody y la superlevel conjunto de los otros.

Una generalizada de Heegaard división surge al tomar cualquier Morse de la función en $M$ (si $\partial M \neq\emptyset$, requieren que el $f$ ser constante en cada límite componente) y la agrupación de los índice de $0$ $1$ puntos y el índice de $2$ $3$ puntos. A continuación, la toma regular de los valores de $r_i$ (de modo que $r_0$ está entre el primer grupo de $0$,$1$-puntos y $2$,$3$-puntos, $r_1$ está entre el primer grupo de $2$,$3$-puntos y el segundo grupo de $0$,$1$-puntos, y así sucesivamente). Por último, definir $C_0 = f^{-1}(-\infty,r_0]$, $C_1 = f^{-1}[r_0,r_1]$, etc.

Generalizada Heegaard escisiones son útiles en el análisis de la "complejidad" de $3$-colectores y puede estar relacionado con la Cheeger constante de la $3$-colector (c.f. Lackenby, "Heegaard escisiones, prácticamente la Haken es una conjetura, y la propiedad $\tau$", Inventiones Mathematicae). También hay una buena manera de construir una generalizada de Heegaard división de un enlace complementar dado de la presentación de el enlace en $\mathbb{S}^3$.

Para obtener más información, lea este Mathoverflow respuesta por Ian Agol, estas notas por Martin Scharlemann, Toshio Saito, y Jennifer Schultens, o estas notas por Jesse Johnson. He encontrado los tres muy útil como aprendí sobre generalizado de Heegaard escisiones.

Answer 2

Yo sólo voy a blantly cita de Wikipedia , ya que no es algo que yo sé mucho (nada) acerca de

Heegaard escisiones también puede ser definida para el compacto de 3-variedades con frontera mediante la sustitución de handlebodies con la compresión de los cuerpos. El encolado mapa es entre el positivo de los límites de la compresión de los cuerpos.

donde una compresión del cuerpo es una generalización de un handlebody.