Problema con infinitas subsecuencias convergentes

Question

Dado que $\forall$ $k \in \mathbb N, k>=2$, la subserie $(a_{kn})$ converge, ¿significa eso que $(a_n)$ converge?

Supongo que esto parece cierto, pero tengo problemas para esbozar un argumento riguroso. No puedo simplemente decir que para un $\epsilon > 0$, $|a_n-L|<\epsilon$, $\forall n >= max(N1,N2,N3..)$ ya que tengo un número infinito de subseries convergentes.

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Tomemos la secuencia $a_n$ con $a_n = 1$ si $n$ es primo, $a_n = 0$ en caso contrario.