Continuidad de una función Racional en la Esfera de Riemann $\hat{\mathbb{C}}$

Question

Deje $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ denotar la Esfera de Riemann. Al leer el artículo de wikipedia sobre ella encontré un pasaje que dice que toda función racional en el plano complejo se puede extender a una función continua sobre la Esfera de Riemann.

La particular construcción es como sigue, vamos a $R(z) = \frac{f(z)}{g(z)} \in \mathbb{C}(z)$ ser una función racional. Supongamos por simplicidad que $f(z)$ $g(z)$ compartir ningún factor común. Entonces para cualquier punto de $a \in \mathbb{C}$ tal que $g(a) = 0$ pero $f(a) \neq 0$ definimos $R(a) = \infty$. También definimos $R(\infty) := \lim_{z \to \infty} R(z)$.

Así, para citar a wikipedia, con este definiciones de $R(z)$ se convierte en una función continua de la Esfera de Riemann a sí mismo. El problema para mí es que el artículo no aporta ningún detalle en cuanto a cómo se puede ir sobre la muestra que, de hecho, $R(z)$ es continua. Así que mi pregunta es exactamente lo que, para hacerlo simple, si tengo por ejemplo $R(z) = \frac{z-1}{z+1}$$R(z) = \frac{1}{z}$, ¿cómo puedo demostrar que es una función continua en a $\hat{\mathbb{C}}$? Creo que se puede construir a partir de un ejemplo sencillo de este tipo (assumming esto es fácil).

También, estoy un poco confundido acerca de cómo interpretar esta continuidad, ¿cómo debo ver la continuidad en la Esfera de Riemann?, en qué consiste un argumento con la proyección estereográfica?

He añadido en la Superficie de Riemann de la etiqueta en caso de que están involucrados, que no estoy seguro. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Una forma de hacer esto es utilizar la secuencia de definición de continuidad... esto funciona debido a la forma de la esfera de Riemann tiene una métrica (función de distancia) que se definen en ella, heredado de la distancia Euclidiana función en 3-d. En este punto de vista, la afirmación de que $\lim_{z \rightarrow a} f(z) = \infty$ es equivalente a decir $\lim_{z \rightarrow a} |f(z)| = \infty$. En el caso de que $a$ sí es infinito, entonces $\lim_{z \rightarrow \infty} f(z) = \infty$ hace $\lim_{|z| \rightarrow \infty } |f(z)| = \infty$. En otras palabras, por cada $N$ hay un $M$ que si $|z| > M$$|f(z)| > N$. Del mismo modo, para algunos finito $z_0$ la declaración de $\lim_{z \rightarrow \infty} f(z) = z_0$$\lim_{|z| \rightarrow \infty } f(z) = z_0$; por cada $\epsilon > 0$ hay un $N$ tal que $|z| > N$ implica $|f(z) - z_0| < \epsilon$.

De esta manera muchas declaraciones como las que usted está tratando de demostrar llegar a ser bastante rutinario.

Answer 2

Como un humilde maestro de escuela secundaria, mi respuesta será probablemente parecen ser cómico; sin embargo, siempre me he imaginado racional de las funciones continuas. Como $x\to\infty$, me imagino que el $x$-eje de un gran círculo de una unidad de la esfera. El $y$-eje también sería un gran círculo. En la geometría esférica, dos líneas se intersectan en dos polos. Si el origen se encuentra en uno de los polos, y el infinito en el otro, la función puede ser concebido como ser continua en el infinito. Como timur menciona, a continuación, el infinito tendría coordinar $0$.