Solución de la ecuación diferencial $2x^3dy + (1 - y^2)(x^2y^2 + y^2 - 1)dx = 0$.

Question

Encontrar la solución de la ecuación diferencial $$2x^3dy + (1 - y^2)(x^2y^2 + y^2 - 1)dx = 0$$

Mi intento: Después de la organización de la ecuación anterior como $$\frac{dy}{dx}=\frac{(1-y^2)(x^2y^2+y^2-1)}{-2x^3}$$ no estoy recibiendo ningún método estándar para llegar a la siguiente etapa. Cualquier sugerencia será muy útil.

Answer 1

Sugerencia:

$2x^3~dy+(1-y^2)(x^2y^2+y^2-1)dx=0$

$2x^3~dy=(y^2-1)(x^2y^2+y^2-1)dx$

$(x^2y^2+y^2-1)\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{2x^3}{y^2-1}$

Deje $u=x^2$ ,

A continuación, $\dfrac{du}{dy}=2x\dfrac{dx}{dy}$

$\therefore\dfrac{x^2y^2+y^2-1}{2x}\dfrac{du}{dy}=\dfrac{2x^3}{y^2-1}$

$\left(x^2+1-\dfrac{1}{y^2}\right)\dfrac{du}{dy}=\dfrac{4x^4}{y^2(y^2-1)}$

$\left(u+1-\dfrac{1}{y^2}\right)\dfrac{du}{dy}=\dfrac{4u^2}{y^2(y^2-1)}$

Esto pertenece a un Abel ecuación de la segunda clase.