¿Requiere ésta la integración por partes?

Question

$$\int_{0}^{1} x \sqrt{1+8x^2}\,dx$$

He intentado

$u=x$

$\text{d}u=\text{d}x$

$\text{d}v = (1+8x^2)^\frac{1}{2}$

pero no estoy seguro de cómo conseguir $v$ mediante la integración de $dv$ ya que $u$ -sub no funciona.

¿Ladrando al árbol equivocado?

Answer 1

Una pista:

Sustituto:

$$ 1+8x^2=u \quad \Rightarrow \quad 16xdx=du \quad \Rightarrow \quad x dx=\frac{1}{16}du $$

Answer 2

(Broma) ¡Utilizaremos la integración por partes!

Dejemos que $u=\sqrt{1+8x^2}$ y $dv=x\,dx$ . Entonces $du=\frac{8x}{\sqrt{1+8x^2}}\,dx$ y podemos dejar que $v=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{16}=\frac{1+8x^2}{16}$ . Así, nuestra integral $I$ viene dada por $$I=\left.\frac{1}{16}(1+8x^2)^{3/2}\large\right|_0^1-\int_0^1 \frac{1}{2}x\sqrt{1+8x^2}\,dx=\left.\frac{1}{16}(1+8x^2)^{3/2}\large\right|_0^1-\frac{I}{2}.$$ De ello se desprende que $$\frac{3}{2}I=\frac{1}{16}(27-1),$$ así que $I=\frac{13}{12}$ .

Nota: : Después de aprender sobre la integración por partes, algunos estudiantes desarrollan una gran afición por ella, y pueden pasar por alto sustituciones que habrían sido rutinarias unos días antes.

Answer 3

Con la no tan trivial-sustitución $x=\frac{\sinh(z)}{2\sqrt{2}}$ la integral se convierte en:

$$ \frac{1}{8}\int_{0}^{\text{arcsinh}(2\sqrt{2})}\sinh(u)\cosh(u)^2\,du=\left.\frac{\cosh^3(u)}{24}\right|_{0}^{\text{arccosh}(3)}=\frac{27-1}{24}=\color{red}{\frac{13}{12}}.$$