Pregunta acerca de la función sign $\operatorname{sgn}(x)$

Question

Sé que puedo integrar a $|x|$ usando el signo de la función $\operatorname{sgn}(x)$ $\int|x|dx=$$\frac{x^2}{2}\operatorname{sgn}(x)+C$ donde $\operatorname{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{d}{dx}|x|$. Pero cuando me diferenciar $\frac{x^2}{2}\operatorname{sgn}(x)=\frac{x^3}{2|x|}$ I get

$$\frac{d}{dx}\frac{x^3}{2|x|}=\frac{3x^2(2|x|)+x^3(2\operatorname{sgn}(x))}{(2|x|)^2}=\frac{6x^2|x|+\frac{2x^4}{|x|}}{4x^2}=\frac{8x^4}{4x^2|x|}=2x\operatorname{sgn}(x)=\frac{2x^2}{|x|}=(2|x|)\frac{|x|}{|x|}$$

Lo que implica $2|x|= |x|$, pero todos sabemos $1\ne2$. ¿De dónde me salen mal?

Answer 1

Quizás $\dfrac{3x^2(2|x|)+x^3(2\operatorname{sgn}(x))}{(2|x|)^2}$ debe $\dfrac{3x^2(2|x|)-x^3(2\operatorname{sgn}(x))}{(2|x|)^2}$?

El cociente de la regla da la derivada de $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$ $f'(x) = \dfrac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.$

Answer 2

Tenemos que el signo de la función es $1$ para números positivos y $-1$ para los negativos. Por lo que podemos definir su integral como $x$$x>0$$-x$$x<0$. Esto significa que podemos utilizar la función valor absoluto:

$$\int \operatorname{sgn}(x)dx = |x|+C$$

Al igual

$$\int|x|dx = \frac{x|x|}{2}+C$$

Si no estoy equivocado, podemos integrar el signo de la función $n+1$ veces con $\dfrac{x^n|x|}{(n+1)!}+C$