Stratonovich SDE coeficiente de selección

Question

Es posible encontrar estrictamente una función positiva $\sigma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, de tal manera que una solución de $X_t$ a un SDE $$dX_t=-X_tdt+\sigma(X_t)\circ dB_t,$$ con $X_0$ ser arbitrario, es una martingala? $B_t$ denota el movimiento Browniano estándar. Necesito encontrar un ejemplo de una función, si la respuesta es positiva, o una prueba, si no lo es.

He intentado lo siguiente. Escribir la ecuación en Ito forma, tenemos $$dX_t=\left(-X_t+\frac{1}{2}\sigma(X_t)\sigma'(X_t)\right)dt+\sigma(X_t)dB_t.$$ Así que si me encuentro con una función de $\sigma$ tal que $$X_t=\frac{1}{2}\sigma(X_t)\sigma'(X_t)$$ a continuación, $X_t$ es de hecho una martingala. Una tal función es $\sigma(x)=\sqrt{2}x$, pero no es estrictamente positivo. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Deje $\sigma(x)=\sqrt2|x|$. Si $X_t$ es un semimartingale, a continuación, $\sigma(X_t)$ es un semimartingale, y \[ \sigma(X_t) = \sigma(X_0) + \sqrt2\int_0^t \text{sgn}(X_s)\,dX_s + 2\sqrt2\Lambda_t(0), \] donde $\Lambda_t(0)$ es el semimartingale, hora local, para $X$$0$. De ello se sigue que la integral de Stratonovich $\sigma(X_t)$ con respecto al $B_t$ está bien definido, y \[ \int_0^t \sigma(X_s)\circ dB_s = \int_0^t \sigma(X_s)\,dB_s + \frac12[\sigma(X),B]_t, \] donde $[\sigma(X),B]_t$ es la cruz, la variación de $\sigma(X_t)$$B_t$. El SDE luego se convierte en \[ dX_t = -X_t\,dt + \sigma(X_t)\,dB_t + \frac12d[\sigma(X),B]_t. \] Si $X$ es una solución para este SDE, a continuación, la cruz de variación se calcula como \begin{align*} [\sigma(X),B]_t &= \sqrt2\int_0^t \text{sgn}(X_s)\,d[X,B]_s\\ &= \sqrt2\int_0^t \text{sgn}(X_s)\sigma(X_s)\,ds\\ &= 2\int_0^t X_s\,ds. \end{align*} Por lo tanto, la SDE se simplifica a \[ dX_t = \sigma(X_t)\,dB_t, \] y por lo que cualquier solución es, al menos, un local de martingala. Pero dado que las soluciones a esta SDE son geométrico Browniano de los movimientos que sabemos para ser martingales, hemos terminado.

Editar:

Lo siento, me acabo de dar cuenta que desee $\sigma$ a ser estrictamente positivo, sino $\sqrt2|x|$$0$$0$. Esto puede ser solucionado mediante la toma de $\sigma(x)=\sqrt{2(x^2+\varepsilon)}$ donde $\varepsilon>0$. En este caso, $\sigma'\sigma=2x$, que es lo que quieres. Como un aparte, tenga en cuenta que como $\varepsilon\to0$, esto converge a $\sqrt2|x|$.

Answer 2

Creo que tengo una solución primaria, a partir de su condición :

$2x=\sigma(x).\sigma(x)'=1/2.(\sigma(x)^2)'$

(esto es cierto para cualquier $X_t$ así que no hay necesidad para el Cálculo Estocástico para ser introducido aquí)

La integración de más de $x$ le da :

$2x^2+c=\sigma(x)^2$

($c$ es conocida una vez que sabemos el valor de $\sigma$, pero tiene que ser positivo )

Así que tenemos 2 soluciones fundamentales :
$\sigma_1(x)=\sqrt{2x^2+c}$ $\sigma_2(x)= -\sqrt{2x^2+c}$

Como queremos mantener la solución positiva tenemos que mantener sólo $\sigma_1$ $c>0$ y esto es consistente con la muy agradable la prueba de user11867.

Saludos