Cualquier bola está conectado?

Question

Deje $X$ ser un equipo compacto , de espacio métrico. Suponga que el cierre de cada una bola abierta es la bola cerrada con centro y radio.

Demostrar que cualquier bola en este espacio está conectado.

Answer 1

Voy a utilizar $B(x,r)$ para el open de bola centrada en $x$ con radio $r$, $\bar B(x,r)$ para el cerrado correspondiente pelota y $\overline{B(x,r)}$ para el cierre de la bola abierta en $X$.

En primer lugar, observe que es suficiente para probar que cada cerrados pelota está conectado, porque de $$B(x,r) = \bigcup_{s<r}\bar B(x,s).$$ (Recuerde que una unión de una familia de conjuntos conectados con los no-vacío intersección está conectado.)

Supongamos que algunos cerrado balón $\bar B(x,r)$ está desconectado. A continuación, $\bar B(x,r)=U+V$ para algunos clopen subconjuntos $U,V$$\bar B(x,r)$. Pero $\bar B(x,r)$ es cerrado en $X$, lo $U$ $V$ también están cerrados en $X$. Desde $X$ es compacto, esto implica que $U$ $V$ son compactos. Suponer sin pérdida de generalidad, que el $x\in U$. Desde $V$ es compacto, $\min_{y\in V} d(x,y)=:q$ existe. Tenga en cuenta que $0<q\leq r$. Fijar un punto de $y\in V$ tal que $d(x,y)=q$.

Observar que $B(x,q)\cap V=\emptyset$. Por lo tanto, $B(x,q)\subseteq U$. Pero $U$ es cerrado en $X$, lo $\overline{B(x,q)}\subseteq U$. Por otro lado, $\bar B(x,q)$ contiene $y$, lo $\bar B(x,q)\nsubseteq U$. Por eso, $\bar B(x,q)\neq\overline{B(x,q)}$.

Llegamos a la conclusión de que si $\bar B(x,r)=\overline{B(x,r)}$ tiene para todos los $x\in X, r\in[0,\infty)$, de que todas las pelotas deben estar conectados.

Answer 2

Suponga que $X$ no está conectado. Entonces existe un conjunto $F\subset X$, de tal manera que $F, K=X\smallsetminus F$ son no vacíos, cerrados y abiertos, y a medida que se cierran son compactos.

Esto significa que $$ r=\mathrm{dist}(F,K)>0, $$ y además no existe$x\in F$$y\in K$, de tal manera que $d(x,y)=r$.

En particular, $$\big(F\cup B(x,r)\big)\cap K=\varnothing,$$ y así $$ F\subconjunto F\cup B(x,r)\subconjunto X\smallsetminus K=F, $$
lo que implica que $F= F\cup B(x,r)$ y $$ F=\overline F= \overline{F\cup B(x,r)}=\overline F\cup \overline B(x,r), $$ lo cual es una contradicción ya que el $y\not\in F$, pero $y\in \overline B(x,r)$.