producto tensorial y producto cuña para la descomposición de la suma directa

Question

Si tenemos un espacio vectorial real $V=W_1\oplus W_2$ ¿es cierto que $W_1 \otimes W_2 = W_1 \wedge W_2 $ ?

Mi opinión es que esto es cierto. La definición del $k$ -la potencia exterior es el cociente de $V^{\otimes k}/I$ donde $I$ es el subespacio generado por los elementos de la forma $v_1\otimes \cdots \otimes v_k$ donde $v_i=v_{i+1}$ para algunos $i$ . Entonces $W_1 \otimes W_2$ es un subespacio de $V^{\otimes 2}$ en el que el único elemento de la forma $v\otimes v$ es $0 \otimes 0 = 0$ . ¿Es esto correcto? ¿Existe otra forma de ver esto? Gracias

Answer 1

$W_1 \wedge W_2$ no está bien definido. ¿Se refiere al subespacio de $V \wedge V$ que es la imagen del mapa natural $W_1 \otimes W_2 \hookrightarrow V \otimes V \twoheadrightarrow V \wedge V$ ? Entonces la respuesta es Sí (pero su prueba no es completa).

En general tenemos un isomorfismo canónico $\wedge^n(W_1 \oplus W_2)=\bigoplus_{p+q=n} \wedge^p(W_1) \otimes \wedge^q(W_2)$ . En este caso, tenemos

$\wedge^2 V = (\wedge^2 W_1 \otimes \wedge^0 W_2) \oplus (\wedge^1 W_1 \otimes \wedge^1 W_2) \oplus (\wedge^0 W_1 \otimes \wedge^2 W_1) = \wedge^2 W_1 \oplus (W_1 \otimes W_2) \oplus \wedge^2 W_2$

y la afirmación es la siguiente.