Supongamos que para todos los $t <1$ hay puntos de $x_t$ $y_t$ tal que $d(x_t,y_t) = t$.

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto. Supongamos que para todos los $t <1$ hay puntos de $x_t$ $y_t$ tal que $d(x_t,y_t) = t$. Demostrar que no existe puntos de $x$ $y$ tal que $d(x,y) = 1$.

He intentado usar el hecho de que desde $A= \{(x_t,y_t) : d(xt,yt)=t\}$ es infinito, $A$ tiene un límite desde el punto de $X$ es compacto y, a continuación, el punto límite sería este conjunto $\{(x,y) : d(x,y) =1\}$... pero yo aún no sé si estoy mirando este en el camino correcto.

Answer 1

Sugerencia: ¿por Qué la función $X\times X\to \mathbb R$, $(x,y)\mapsto \left|1-d(x,y)\right|$ asumir su mínimo?