¿Por qué la imagen de la función implícita en el teorema de la función implícita de no abrir?

Question

Tenemos continuamente una función derivable $f$$\mathbb{R}^{n+m}$$\mathbb{R}^n$, y nos encontramos continuamente una función derivable $g$ que los mapas de puntos de $\mathbb{R}^m$ a $\mathbb{R}^n$ (esta función define el $x \in \mathbb{R}^n$ "implícitamente" en términos de $y \in \mathbb{R}^m $).

¿Qué regularidad propiedades de la imagen de $g$ tiene como resultado directo de la prueba del teorema de la función implícita (si los hubiera) con el fin de permitir significativa diferenciable de la geometría (por ejemplo, colectores) a "suceder"?

En la prueba de la Inversa (no implícito) y el teorema de la función, tenemos que ocuparnos de las propiedades de la imagen de $f$. Sin embargo, por alguna razón, las propiedades de la imagen de $g$ en el Implícito (no invertido) teorema de la función no importan? ¿Por qué es eso?

Cuáles son las propiedades que, si alguna, de $g$ en el teorema de la función implícita, entonces, son importantes para las definiciones de los colectores y de la tangente de los espacios y los paquetes?

Esta pregunta parece tratar un tema relacionado, pero el debate parece asumir que la imagen de g es abierto. Sin embargo, Rudin no hace mención de esto en su prueba, y tampoco parece que siguen necesariamente de su prueba (sólo se muestra la existencia de dos bloques abiertos en $\mathbb{R}^{n+m}$ y una en $\mathbb{R}^m$, pero estoy preguntando sobre la imagen de éste como un conjunto en $\mathbb{R}^n$).

EDIT: "¿no es esto insatisfactorio? ¿Cómo podemos utilizar las conclusiones del teorema de la función implícita si la función implícita no es ni un homeomorphism ni un diffeomorphism?" --- Ahora me doy cuenta de que no puede ser un diffeomorphism excepto para el caso de que $n=m$, porque de lo contrario tendríamos una contradicción.

Contexto:

Este es, en cierto sentido, la secuela a una pregunta que le hice aquí.

En esa pregunta me preguntó por qué quería que la imagen de la continua y derivable la función $f$ a ser abierto.

La respuesta parecía venir de abajo para tener una lo suficientemente significativa o útil la definición de derivado de aplicar a la inversa de la función, así que teníamos en particular, la continuidad de la función inversa y un homeomorphism. Que tienen la imagen de ser abierta es necesaria para que esto parece muy claro, pero parece ser justificable el uso de Brouwer de la invariancia del dominio teorema.

Sin embargo, en Rudin la prueba del teorema de la función implícita, no parece necesario que la imagen de la "función implícita" $g$ ser abierto.

¿Por qué no tenemos el mismo problema por el teorema de la función implícita?

No necesitamos de la imagen para la imagen inversa de un conjunto bajo $g$ a un colector? (Suponiendo que se supone que debe ser de alguna manera un colector?)

Answer 1

La función de $g$ es mucho menos importante de lo que tú piensas que es. No que realmente preocupa a $g$; la función que le preocupa es $f$, y sólo usa $g$ para obtener una descripción sencilla de lo $f$ parece.

En particular, nunca pides la imagen inversa de un conjunto bajo $g$ a un colector; pida la imagen inversa de un conjunto bajo $f$ a un colector. Por ejemplo, cuando se toma la imagen inversa de un solo punto de $p$ bajo $f$, el teorema de la función implícita nos dice que usted obtiene la gráfica de una función derivable $g$, y la gráfica de cualquier función derivable es siempre un diferenciable submanifold. De hecho, sabemos que la gráfica es una diferenciable submanifold porque podemos parametrizar por la función de $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n+m}$ envío de $x$$(x,g(x))$. Esto no tiene nada que ver con especiales propiedades de regularidad de $g$ además de ser sólo una función y ser diferenciable.

Tenga en cuenta que es altamente no trivial declaración de que no existe tal función $g$: se dice que a nivel local, una vez que se elige la primera $n$ coordenadas de un punto de $\mathbb{R}^{n+m}$, siempre hay exactamente un camino para elegir la última $m$ coordenadas para obtener un punto en el que $f$ envía a $p$. El contenido del teorema de la función implícita no es que la función de $g$ es súper agradable, sino simplemente que existe en todos. Es $f$ que quieres ser super-agradable, y la mera existencia de $g$ es todo lo que necesita a la conclusión de datos útiles acerca de la $f$ (por ejemplo, que el $f^{-1}(\{p\})$ es un colector).