¿Cómo empiezo este problema?

Question

Encontrar todos los valores reales de $x,y$ y $z$ tal que

$x + y + z = 51$

y

$xyz=4000$

dado que

$z\geq 25$ y $0<x\leq 10$

Creo que la única solución posible es $10, 16, 25$ pero no sé cómo demostrarlo. He probado a hacer de suplente de varias maneras pero no creo que eso haya ayudado. La entremezcla de desigualdades e igualdades es algo con lo que no estoy familiarizado, así que no sé cómo proceder. ¿Qué tipo de técnicas se necesitan?

Agradecería cualquier pista para resolver esto, ya que aún me gustaría intentar resolverlo yo mismo. Si no puedo resolverlo de los que voy a responder para obtener más aclaraciones.

Answer 1

La solución de Ahmad puede simplificarse.

Sustituyendo $z=51-x-y\quad$ obtenemos $\quad xyz=xy(51-x-y)=51xy-x^2y-xy^2=4000$

$y^2+(x-51)y+\frac{4000}x=0\qquad$

Suponiendo que existan soluciones reales, entonces vienen dadas por $2y=51-x\pm\sqrt{\Delta}\\$ $\text{where }\Delta=(x-51)^2-\frac{16000}x$

Edición: un estudio paralelo muestra $\Delta<0$ cuando $0<x<1$ por lo que podemos suponer $x\ge 1$ a partir de ahora, era necesario justificar la afirmación siguiente (la última implicación).

La condición de que una de las soluciones sea mayor que $25$ implica:

$51-x\pm\sqrt{\Delta}\ge 50\implies \pm\sqrt{\Delta}\ge x-1\implies \Delta\ge (x-1)^2$

Sustitución del valor de $\Delta$ y utilizando $a^2-b^2$ identidad obtenemos:

$(-50)(2x-52)\ge \frac {16000}x\iff 26-x\ge \frac{160}x\iff x^2-26x-160=(x-10)(x-16)\le 0$

Lo que ocurre cuando $x\in[10,16]$ .

Pero como el problema dice que $0<x\le 10$ entonces $x=10$

Ahora $y^2+(x-51)y+\frac{4000}x=y^2-41y+400=(y-16)(y-25)=0$

Da las soluciones restantes $y=16$ y $z=25$ y comprobamos que verifica el problema inicial.

Todo lo que tuvimos a partir de ahora donde en su mayoría " $\implies$ ", pero es suficiente para demostrar que la solución es única.

Answer 2

Desde $0<x \leq 10$ y $z \geq25$ así que $y>0$ porque $x y z=4000$ y eso sólo puede ocurrir si $y$ es un número positivo.

Ahora a partir de la primera ecuación tenemos que $x=51-y-z$ .

Sustitúyelo en la segunda ecuación para obtener $(51-y-z)y z=4000$ expandiendo los paréntesis y resolviendo para $z$ obtenemos que $z=\frac{-y^2+51y-\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y}$ y $z=\frac{-y^2+51y+\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y}$

Ahora tenemos que $z\geq 25$ así que $\frac{-y^2+51y+\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y}\geq 25$ o $\frac{-y^2+51y-\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y}\geq 25$

La parte $\frac{-y^2+51y-\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \geq 25$ no tienen solución para $y$ dejando la parte de la raíz cuadrada a la izquierda y todo el resto a la derecha obtenemos que $\frac{-\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \geq -\frac{1}{2}+\frac{y}{2}$ obviamente el lado izquierdo es negativo por lo que cuando el lado derecho es positivo es falso, y el lado derecho es positivo cuando $-\frac{1}{2} +\frac{y}{2} >0$ o cuando $y>1$ .

¿Qué pasa con $0<y<1$ Bueno, los términos dentro de la raíz cuadrada serán negativos y por lo tanto no tendrán ningún significado en el dominio Real, (te dejo esto para que lo pruebes, pista : $0<y^4<y^3<y^2<y<1$ ).

Así que nos queda $\frac{-y^2+51y+\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \geq 25$ o $\frac{+\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \geq -\frac{1}{2}+\frac{y}{2}$ y cuando $0<y<1$ la desigualdad no tiene sentido en el dominio real por lo que $y>1$ (la misma prueba que la anterior).

multiplicar por $2y$ y puesto que $y>0$ esto no cambia la desigualdad y obtenemos que $\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y} \geq y^2-y$

elevar al cuadrado ambos lados (ya que ambos son positivos) que no cambia la desigualdad para obtener $\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y\geq (y^2-y)^2$ expandiendo los paréntesis obtenemos que $y^4-102 y^3+2601 y^2-16000 y\geq y^4-2 y^3+y^2 $ si apartamos todos los términos obtenemos que $-100 y^3+2600 y^2-16000 y\geq 0$ o $-100y(160 - 26 y + y^2) \geq 0$ resolver $y$ (ecuación cuadrática) obtenemos que $10\leq y \leq16$ o $y\leq 0$ (lo cual es falso ya que $y>0$ ).

Ahora tenemos que asegurarnos de que $ 0<x =51-y-z \leq 10$

Así que $51-y-\frac{-y^2+51y+\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \leq 10$ o $51-y-\frac{-y^2+51y-\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \leq 10$

adoptando el mismo enfoque que el anterior se llegará a que $16 \leq y \leq 25$ o $y \leq 0$ y (puesto que $y>0$ esto es falso ).

Así que al final $y$ debe estar en el intervalo $[10,16]$ y $[16,25]$ y el único valor en ambos intervalos es $y=16$ y resolviendo para $x,z$ da que $x=10,z=25$ .

Answer 3

Resolución de $y$ da $\displaystyle 51-x-z=\frac{4000}{xz}\;\;$ Así que $\;51xz-x^2z-xz^2=4000\;$ con $0<x\le10$ y $z\ge25$ .

Sea $f(x,z)=51xz-x^2z-xz^2$ en la región rectangular $0\le x\le10, \;25\le z\le51$ $\hspace{2 in}$ (ya que $z>51\implies y<0\implies xyz<0$ );

demostraremos que $f$ tiene su valor máximo de $4000$ cuando $x=10, z=25$ :

1) En el lado izquierdo, $g(z)=f(0,z)=0$ para $25\le z\le 51$ .

2) En el lado derecho, $g(z)=f(10, z)=410z-10z^2$ es decreciente en $[25,51]$ por lo que su máximo se produce $\hspace{3.4 in}$ cuando $x=10$ y $z=25$ .

3) En la parte superior, $h(x)=f(x,51)=-51x^2$ tiene un valor máximo de 0.

4) En la parte inferior, $h(x)=f(x, 25)=25(26x-x^2)$ aumenta en $[0,10]$ por lo que su máximo se produce $\hspace{3.4 in}$ cuando $x=10$ y $z=25$ .

5) Resolución $f_{x}=51z-2xz-z^2=0$ y $f_{z}=51x-x^2-2xz=0$ da los puntos críticos $\hspace{.12 in}(0,0), (51, 0), (0,51), (17, 17)$ y ninguno de estos puntos se encuentra en el interior de la región considerada.

Por lo tanto $f(10,25)=4000$ es el valor máximo de $f$ sobre la región $0\le x\le 10, 25\le z\le 51$ ;

así que $x=10, z=25$ y $y=16$ es la única solución.