Estoy tratando de calcular esta ILT $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{z^s}\right\},$$ donde $|z|>1$. Sin embargo, no estoy seguro de que esto se puede? Cualquier ayuda se agradece.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es uno raro. Trabajé en el real Bromwich integral directamente porque el residuo es el teorema de no ser de ayuda aquí. Se puede conseguir algo en términos de $c$, el desplazamiento desde el eje imaginario de la integración de la ruta. Así que me dirigí a algo más básico. Considere la posibilidad de
$$\hat{f}(s) = \int_0^{\infty} dt \: f(t) e^{-s t}$$
El simple transformada de Laplace de algunas funciones $f$. Vamos a lanzar a la basura cualquier condiciones de continuidad, etc. en $f$, y considerar la posibilidad de
$$f(t) = \delta(t-\log{z})$$
para algunos $z$. Entonces
$$\hat{f}(s) = z^{-s}$$
Interesante. Ahora considere el $f(t) = \delta'(t-\log{z})$; a continuación,
$$\hat{f}(s) = s z^{-s} + \delta(-\log{z})$$
De ello se sigue que
$$\mathcal{L}\left\{\delta(t-\log{z})+ \delta'(t-\log{z})\right\} = \frac{s+1}{z^s} + \delta(-\log{z})$$
Por lo tanto
$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{z^s}\right\} = \delta(t-\log{z})+ \delta'(t-\log{z}) - \delta(-\log{z}) \delta(t)$$
