¿Cómo demostrar esta afirmación con el "primer" principio de inducción matemática y no con la inducción matemática fuerte?

Question

Definir una secuencia $s_0,s_1,s_2,...$ de la siguiente manera : $$s_0=0, s_1=4, s_k=6s_{k-1} - 5s_{k-2} \; \forall \; \text{integers} \; k\ge 2.$$ Demostrar por el principio de inducción matemática fuerte que $$s_n=5^n-1 \; \forall \; n\ge 0.$$

Es muy fácil demostrarlo por inducción matemática fuerte. Sin embargo, estoy interesado en demostrarlo sólo por el "primer" principio de inducción matemática. ¿Alguna idea?

Answer 1

$$s_k-s_{k-1}=5(s_{k-1}-s_{k-2}),$$ que dice que $$s_k-s_{k-1}=4\cdot5^{k-1}$$ para todos $k\geq1$ .

Ahora, podemos utilizar una inducción, que usted desea.

Para $k=0$ y para $k=1$ es cierto.

Dejemos que $s_k=5^k-1$ para todos $k\geq0$ .

Así, $$s_{k+1}=s_k+4\cdot5^k=5^k-1+4\cdot5^k=5^{k+1}-1.$$ ¡Hecho!

Answer 2

Parece que tengo mi respuesta. He visto una prueba de que el "primer" principio de inducción matemática y el principio fuerte de inducción matemática son equivalentes. Así que por esa prueba he formulado una prueba para este también. Aquí va :

Dejemos que $P(n) : s_n=5^n-1$

Dejemos que $Q(n) : P(j) \; \text{is true} \; \forall \; 0\le j\le n.$ Utilizaremos $Q(n)$ por utilizar el "primer" principio de inducción matemática.

Paso de base : Demostramos que $Q(1)$ es verdadera, es decir $P(1)$ y $P(2)$ son afirmaciones verdaderas.

Aquí $s_0=5^0-1=0$ que coincide con la definición $s_0=0.$ y $s_1=5^1-1=4$ que también coincide con la definición $s_1=4$ .

Paso inductivo : Supongamos que $Q(k)$ es verdadera para cualquier número entero $k \ge 1.$ es decir $P(j) \; \text{is true} \; \forall \; 0\le j \le k$ para cualquier número entero $k\ge 1$ .

Considere $s_{k+1}=6s_k - 5s_{k-1}.$

Entonces $s_{k+1}=6(5^k-1)-5(5^{k-1} -1)=6.5^k-6-5^k+5=5^{k+1}-1.$ Lo que había que probar.