Mientras que la solución DE la $$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-x^2}{y^2+x^2}$$ with the initial substitution $y=vx$ me quedé atrapado en la integración de :
$$\int \frac{v^2+1}{v^3-v^2+v+1}\,dv$$
No sé cómo proceder. Amablemente ayuda.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La principal dificultad es que su cúbicos no tienen buenas raíces. Permite llamar a ellos $v_r$, $v_c$ y $\bar{v_c}$ y deje $v_c=a+bi$. I. e.
$$v^3-v^2+v+1=(v-v_r)(v-v_c)(v-\bar{v_c})$$
$$=(v-v_r)(v^2-2av+a^2+b^2)=(v-v_r)((v-a)^2+b^2)$$
Por lo tanto podemos escribir:
$$\frac{v^2+1}{v^3-v^2+v+1}=\frac{A}{v-v_r}+\frac{Bv+C}{(v-a)^2+b^2}$$
$$v^2+1=A((v-a)^2+b^2)+(Bv+C)(v-v_r)$$
El próximo trabajo de los coeficientes de $A$, $B$, y $C$.
Si $v=v_r$, entonces:
$$v_r^2+1=A((v_r-a)^2+b^2)$$
$$A=\frac{v_r^2+1}{(v_r-a)^2+b^2}$$
Si $v=0$, entonces:
$$1=A(a^2+b^2)+C(-v_r)$$
$$C=\frac{A(a^2+b^2)-1}{v_r}=\frac{2a+v_r(a^2+b^2-1)}{(v_r-a)^2+b^2}$$
Reordenando la ecuación de $B$ le da:
$$B=\frac{1+v^2-A((v-a)^2+b^2)-C(v-v_r)}{v(v-v_r)}$$
Subbing $A$ $C$ nuevo y de problemas para $B$ da (nota de la $v$ cancela):
$$B=\frac{a^2+b^2-1-2av_r}{(v_r-a)^2+b^2}$$
A continuación, puede realizar la integral y, finalmente, de vuelta en el sub $A$, $B$ y $C$.
$$\int\frac{A}{v-v_r}+\frac{Bv+C}{(v_r-a)^2+b^2)}\ dv$$
$$=A\log{|v-v_r|}+\frac{aB+C}{b}\arctan\left(\frac{v-a}{b}\right)+\frac{B}{2}\log((v-a)^2+b^2)$$
Huelga decir que eso no es bastante y no tiene una buena forma cerrada como también la necesidad de reemplazar los valores reales para $v_r$, $a$ y $b$ que son:
$$v_r=\frac{(3\sqrt{33}-17)^{\frac23}+(3\sqrt{33}-17)^{\frac13}-2}{3(3\sqrt{33}-17)^{\frac13}}$$
$$a=\frac{-(3\sqrt{33}-17)^{\frac23}+2(3\sqrt{33}-17)^{\frac13}+2}{6(3\sqrt{33}-17)^{\frac13}}$$
$$b=\frac{\sqrt{3}(3\sqrt{33}-17)^{\frac13}+2\sqrt{3}}{6(3\sqrt{33}-17)^{\frac13}}$$
De la nota Wolframalpha también se esfuerza por expresar esta integral muy bien.
user5713492
Puntos
61
Esto ocurrió el mes pasado y mi solución parecía un poco más limpia. Es casi lo mismo esta vez. Encontrar una raíz de $v^3-v^2+v+1=0$, y el real es $$a=\frac13-\frac{2\sqrt2}3\sinh\left(\frac13\sinh^{-1}\left(\frac{17}{2\sqrt2}\right)\right)$$ Luego fracciones parciales se van como $$\frac{v^2+1}{v^3-v^2+v+1}=\frac A{v-a}+\frac{Bv+C}{v^2+(a-1)v+a^2-a+1}$$ Entonces podemos usar la regla de L'Hospital para obtener $A$ $$A=\lim_{v\rightarrow a}\frac{(v-a)(v^2+1)}{v^3-v^2+v+1}=\frac{a^2+1}{3a^2-2a+1}$$ Luego tenemos la aritmética $$(3a^2-2a+1)(2a^2-7a+3)=(6a-19)(a^3-a^2+a+1)+22$$ $$(a^2+1)(2a^2-7a+3)=(2a-5)(a^3-a^2+a+1)-2a^2-4a+8$$ Así que ahora podemos decir $$\begin{align}\frac{a^2+1}{3a^2-2a+1} & =\frac{(a^2+1)(2a^2-7a+3)}{22}\\ & =\frac{-a^2-2a+4}{11}\end{align}$$ Y entonces podemos obtener $B$ $C$ por la resta de fracciones y luego dividiendo por $(v-a)$ $$\begin{align}\frac{v^2+1}{v^3-v^2+v+1} & =\frac {-a^2-2a+4}{11(v-a)}+\frac{(a^2+2a+7)v+5a^2-a+2}{11\left(v^2+(a-1)v+a^2-a+1\right)}\\ & =\frac {-a^2-2a+4}{11(v-a)}+\frac{(a^2+2a+7)\left(v+\frac{a-1}2\right)+4a^2-3a+6}{11\left(v^2+(a-1)v+a^2-a+1\right)}\end{align}$$ Así que se puede integrar para obtener $$\begin{align}\int\frac{v^2+1}{v^3-v^2+v+1}dv= & \frac{-a^2-2a+4}{11}\ln|v-a|+\\ & \frac{a^2+2a+7}{22}\ln\left(v^2+(a-1)v+a^2-a+1\right)+\\ & \frac{8a^2-6a+12}{11\sqrt{3a^2-2a+3}}\tan^{-1}\frac{2v+a-1}{\sqrt{3a^2-2a+3}}+C\end{align}$$ Así que escribí funciones para el integrando la integral y la comparación de integración numérica con el resultado analítico y obtuvo resultados similares.
module M
use ISO_FORTRAN_ENV, only: dp=>REAL64
implicit none
contains
function f(x)
real(dp) f, x, a
real(dp), parameter :: c3 = 3
real(dp), parameter :: c8 = sqrt(8.0_dp)
a = 1/c3-c8/c3*sinh(1/c3*asinh(17/c8))
f = (-a**2-2*a+4)/11*log(abs(x-a))+ &
(a**2+2*a+7)/22*log(x**2+(a-1)*x+a**2-a+1)+ &
(8*a**2-6*a+12)/11/sqrt(3*a**2-2*a+3)*atan((2*x+a-1)/sqrt(3*a**2-2*a+3))
end function f
function f16(x)
real(dp) f16, x
f16 = (x**2+1)/(x**3-x**2+x+1)
end function f16
end module M
