¿Qué es una función especial?

Question

Cuando leo algunos problemas aquí, veo de vez en cuando referencias incorrectas al campo de las funciones especiales, por ejemplo, podría ser una discusión sobre la $\delta$-función de Dirac que está etiquetada como (funciones-especiales) o una discusión sobre alguna función que recuerda a la función continua no derivable en ningún lugar de Weierstrass. Estos ejemplos me hacen pensar - ¿qué clasificaría a una función como especial?

Una definición vaga y mala podría ser "Una función es una función especial si se parece a alguna función hipergeométrica" o "Una función es una función especial si encaja en el proyecto de manuscritos de Bateman.

Para mí, la función Gamma y la función Zeta son definitivamente funciones especiales.

Además, he trabajado en las funciones de Legendre $P_\lambda$ y $Q_\lambda$ del primer y segundo tipo, que llamaría funciones especiales, pero no individualmente sin embargo (excepto quizás $P_{-1/2}$).

No diría que las funciones elementales (como las funciones trigonométricas y la función exponencial) son funciones especiales - pero no estoy totalmente convencido de esto...

No estoy de acuerdo con Wikipedia, dice: "Las funciones especiales son funciones matemáticas particulares que tienen nombres y notaciones más o menos establecidos debido a su importancia en el análisis matemático, análisis funcional, física u otras aplicaciones.

No hay una definición formal general, pero la lista de funciones matemáticas contiene funciones que son comúnmente aceptadas como especiales. En particular, las funciones elementales también son consideradas como funciones especiales."

Además, al mirar la lista de Wikipedia (enlazada arriba), la función indicadora, las funciones escalón, la función de valor absoluto y la función de signo son funciones especiales - esto me suena muy mal.

Entonces, ¿qué es una función especial y qué debería estar bajo la etiqueta (funciones-especiales)?

Answer 1

El término "función especial" tiene una conexión histórica con las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, a menudo ecuaciones diferenciales de segundo orden que surgen de un tratamiento de separación de variables de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Esta conexión se menciona brevemente en el artículo de Wikipedia.

La documentación de Sage sobre funciones especiales, por ejemplo, lista la EDO satisfecha por la función junto con observaciones sobre las condiciones de contorno. Stephen Wolfram dio una buena revisión histórica en su charla The History and Future of Special Functions, en la que dice: "La mayoría de las funciones especiales continuas están de hecho definidas implícitamente, generalmente a partir de ecuaciones diferenciales". Naturalmente, no se muestra tímido sobre lo que percibe como la contribución de Mathematica a esta historia, desarrollando búsquedas automáticas de métodos numéricos precisos que proceden directamente de la definición subyacente por ecuaciones diferenciales.

No está solo en explorar la generación automática de algoritmos para funciones especiales mediante computación simbólica. Centrándose en funciones especiales que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes polinomiales, Meunier y Salvy (2003) describen el diseño de su sitio web The Encyclopedia of Special Functions (ESF).

Las funciones trascendentales elementales encajan fácilmente en este esquema como funciones especiales especiales, ya que también resuelven ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, la función exponencial resuelve $y' = y$ y el seno y el coseno, con diferentes condiciones de contorno, resuelven la EDO de coeficiente constante $y'' = -y$.

Answer 2

Asocio el término (físico) principalmente con esta gran familia de funciones a menudo indexadas que tienen algunas relaciones mágicas entre sí. Mi explicación "de andar por casa" de por qué existen estas cosas es la siguiente:

En física, estamos tratando con la dinámica de ciertos grados de libertad. Estas dinámicas, dadas por ecuaciones diferenciales, a menudo emplean simetrías suaves, es decir, estamos tratando con grupos de Lie, que también son variedades en sí mismos. Tomemos por ejemplo el Laplaciano $\Delta=\nabla\cdot\nabla$ y las simetrías asociadas $R$ que actúan como $\nabla\to R\nabla$ de tal manera que $R\nabla\cdot R\nabla=\nabla\cdot\nabla$. Ahora, en el caso que uno esté tratando con una "rotación" en el sentido más amplio de la palabra, las $R$ a menudo forman una variedad compacta, donde podemos definir salvajemente cosas como la integración en el grupo, y estos grupos de simetría también permiten representaciones de matrices unitarias bastante bonitas. Es decir, necesariamente hay matrices $U$ con

$$\sum_kU_{kn}^*U_{km}=\delta_{mn},$$

y bueno, los coeficientes de la matriz $U_{kn}$ deben ser alguna función compleja. Ves la relación directa con funciones especiales si tomas la teoría abstracta de grupos de Lie y realmente te sientas a escribir las matrices en alguna base. Por ejemplo, para las matrices del grupo de rotación $D$, encuentras

$$D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)= e^{-im'\alpha } [(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{1/2}\cdot$$ $$\cdot\sum\limits_s \left[\frac{(-1)^{m'-m+s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!} \right.\cdot$$ $$ \left. \cdot \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^{m'-m+2s} \right] e^{-i m\gamma}.$$

Muy bonito, ¿verdad? Aquí tienes los Polinomios de Legendre $P_\ell^m$

$$ D^{\ell}_{m 0}(\alpha,\beta,0) = \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} Y_{\ell}^{m*} (\beta, \alpha ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\beta} ) \, e^{-i m \alpha } $$

de manera que tienes la relación especial que relaciona las funciones

$$ \int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi \sin \beta d\beta \int_0^{2\pi} d\gamma \,\, D^{j'}_{m'k'}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^j_{mk}(\alpha,\beta,\gamma) = \frac{8\pi^2}{2j+1} \delta_{m'm}\delta_{k'k}\delta_{j'j},$$

lo cual interpreto como $U^* U=1.

Porque existen simetrías representables en la estructura geométrica de los espacios, deben existir funciones que tengan algunas propiedades mágicas de relación entre ellas.

Answer 3

Tal vez sería mejor decir que "Funciones especiales no se refiere a una función en particular, simplemente es un campo matemático dedicado al estudio de una función explícita particular o una clase de funciones en el análisis matemático".