Taylor Teorema De La Función Derivable

Question

Tengo la siguiente pregunta

Deje $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser dos veces diferenciable la función de la satisfacción de $g(0)=1, \ g'(0) = 0$$g''(x) - g(x) = 0$, para todos los $x \in \mathbb{R}$

i) Probar que $g$ tiene derivadas de todos los órdenes.

ii) Fix $x \in \mathbb{R}$. Demostrar que no existe $M > 0$ tal que para todos los $n \in \mathbb{N}$ y todos los $\theta \in (0,1)$

$|g^{(n)}(\theta x)| \leq M$

iii) Encontrar los coeficientes de la expansión de Taylor de $g$$0$, y demostrar que esta expansión converge a $g(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$

Yo lo he hecho ( i ) y señaló que $g^{(k)}(0) = 1$ si $k$ es incluso y $g^{(k)}(0) = 0$ si $k$ es impar. Yo estoy luchando con las dos últimas partes. Para ( ii ) he demostrado que, a través del Teorema de Taylor, obtenemos

$g(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!} x^k + \dfrac{g^{(n)}(\theta x)}{n!} x^n$

Pero no veo cómo obtener un límite superior en $\dfrac{n! g(x)}{x^n} - \dfrac{n!}{x^n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!} x^k$ fijos $x \in \mathbb{R}$

También me he dado cuenta de que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!} x^k = \cosh(x)$

Cualquier ayuda muy apreciada.

Gracias!

Answer 1

ii) Dejar $x \in \mathbb{R}$. Desde $g$ es dos veces diferenciable, es $C^1$. Deje $M = \sup_{\lambda \in [0,1]} \max(|g(\lambda x)|,|g'(\lambda x)|)$.

Desde $g^{(2)}(x) = g(x)$, $g^{(2n)}(x) = g(x)$ todos los $n$. Del mismo modo, desde la $g^{(3)}(x) = g^{(1)}(x)$, $g^{(2n+1)}(x) = g^{(1)}(x)$ todos los $n$. En consecuencia de ello se sigue que $|g^{(n)}(\theta x)| \le M$ todos los $n$, y para todos los $\theta \in (0,1)$.

iii) Los coeficientes de Taylor alrededor de cero seguir a partir de la fórmula anterior para $g^{(n)}$. En particular, $g^{(2n)}(0) = 1$, $g^{(2n+1)}(x) = 0$.

Después de su notación anterior, para demostrar que la serie de Taylor converge a $g(x)$, usted necesita demostrar que para todos los $\epsilon>0$, podemos encontrar $N$ tal que para $n \ge N$, $$\left|g(x)-\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!} x^k\right| < \epsilon.$$ From your estimate above, we have $$\left|g(x)-\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!} x^k\right| = \left|\dfrac{g^{(n)}(\theta x)}{n!} x^n\right| \le M \frac{|x|^n}{n!},$$ and since $\lim_n \frac{|x|^n}{n!} = 0$, it is clear that we can find such a $$ N. Por lo tanto la serie de Taylor converge.

Y, como usted ha señalado, tenemos $g(x) = \cosh x$.