cómo regularizar $ \int_{-\infty}^\infty x \sin x \, dx $?

Question

En un problema de física me enfrento con un divergentes integral

$$ \int_{-\infty}^\infty x \sin x \, dx = \sin x - x \cos x \bigg|_{-\infty}^\infty \aprox 0$$

Cómo regularizar?

a fin de regularizar esta suma diría yo que esto es igual a cero. otra posibilidad es

$$ \int_{-L}^L x \sin x \, dx = \sin x - x \cos x \bigg|_{L}^L = 2( \sin L - L\cos L)$$

que es oscilante. si $L \in 2 \pi \mathbb{ Z }$ la integral es $\int = \pm L$ si $L \in \pi/2+ 2 \pi \mathbb{ Z }$$\int = \pm 2$.

así que incluso si esta integral es oscilatorio tal vez la teoría de distribuciones que nos puede salvar.

Answer 1

Puesto que el integrando es par, considere la posibilidad de $\int_0^\infty x \sin x \, dx $. Para esta integral existe una conveniente de regularización: multiplicar el integrando por $e^{-cx}$ donde $c>0$. Este se integra sin mucho trabajo (escribir $\sin x = (e^{ix}-e^{-ix})/(2i)$, luego integre $xe^{ax}$ por partes, y para simplificar). La antiderivada es $$ - \frac{e^{-cx}}{\left(c^{2} + 1\right)^{2}} \left((c^{3} x+cx+c^2-1) \sin x + (c^{2} x +x + 2 c)\cos x \right) $$
de modo que la integral de $0$ $\infty $es $$\frac{2c}{(c^2+1)^2}$$ y esto tiende a $0$$c\to 0$.

Answer 2

Supongamos que reemplazar el integrando por una función de $f(x,p)$ tal que $f(x,0) = x\sin(x)$, y supongamos que la expansión de la serie de coeficientes de la expansión de la $f(x,p)$ $x = 0$ tiende a aquellos de $x\sin(x)$ $p$ a cero uniformemente. Entonces si $\int_0^\infty f(x,p)dx$ existe $p>0$, luego Glaisher del teorema dice que:

$$\int_0^{\infty}f(x,p)dx = \frac{\pi}{2}c_{-\frac{1}{2}}(p)$$

donde por entero $n$, $c_n(p)$ es el coeficiente de $(-1)^nx^{2n}$ en la expansión de la serie de $f(x,p)$ alrededor de cero. Para las fracciones de $n$ $c_n$ son definidos usando continuación analítica. Podemos entonces definir la regularización integral tomando el límite de $p$ a cero en la expresión anterior, y esto no depende de que el método de regularización es la serie de coeficientes tienden a los de la original integrando de manera uniforme. En este caso, entonces uno encuentra que la integral es dado como $\frac{\pi}{2 (-2)!} = 0$.