Los puntos y la máxima ideales en el polinomio anillos

Question

Deje $k$ ser un campo, entonces yo quiero probar la siguiente declaración: por cada $P=(b_1,\ldots,b_n)\in K^n$, el ideal de $\mathfrak{m}_P=(x_1-b_1,\ldots,x_n-b_n)$ es máxima en el polinomio anillo de $k[x_1,\ldots,x_n]$.

Para probar esto, considero que la evaluación mapa $$v_P:k[x_1,\ldots,x_n]\longrightarrow k$$ el envío de un polinomio $f(x_1,\ldots,x_n)$$f(b_1,\ldots,b_n)$. A continuación, $v_P$ es un surjective de morfismos de anillos. Así tenemos que el cociente de $k[x_1,\ldots,x_n]$ por el núcleo de $v_P$ es isomorfo a $k$, que es un campo, por lo tanto es un campo en sí mismo y $\ker v_P$ es máxima. Así que sólo nos queda probar que $\mathfrak{m}_P=\ker v_P$. Una de las inclusiones es obvio, por definición de $\mathfrak{m}_P$. Por otro lado, no sé cómo demostrar que $\ker v_P$ está contenido en $\mathfrak{m}_P$.

Answer 1

Como $x_i + \mathfrak{m}_P = b_i +\mathfrak{m}_P, \ f(x_1,\cdots, x_n) + \mathfrak{m}_P = f(b_1, \cdots, b_n) + \mathfrak{m}_P.$ Si $f\in \ker v_P,$ $f\in \mathfrak{m}_P.$

Answer 2

Una idea: evitar Hilbert Nullstellensatz y esas cosas, usted puede intentar un acercamiento directo:

$$g\in\ker v_P\Longrightarrow g(b_1,...,b_n)=0$$

Veamos las cosas como $\,t(x_n):=g(b_1,\ldots,b_{n-1})(x_n)\in k(b_1,\ldots,b_{n-1})[x_n]\,$ . Por lo tanto, el polinomio $\,t(x_n)\,$ $\,b_n\,$ como uno de sus raíces, por lo que el uso de la división lema para el (funciones racionales) campo de$\,k(b_1,...,b_{n-1})\,$ , obtenemos

$$g(b_1,...,b_{n-1})(x_n)=t(x_n)=(x_n-b_n)r(x_n)\;\;,\;\;r(x_n)\in k(b_1,...,b_n)[x_n]$$

Prueba ahora, tal vez, de algunos inductivo argumento aquí.