Considere la posibilidad de $T\colon\ell^2\to\ell^2$ un operador que $Te_k=\lambda_k e_k$ $\lambda_k\to 0$ $k \to \infty$ cómo probar que es compacto?
Respuesta
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Deje $T_n$ tales que $T_n(e_k)=\begin{cases}\lambda_ke_k&\mbox{ if }k\leq n\\\ 0&\mbox{ if }k>n \end{casos}$. Then $T_n$ is finite ranked hence compact and for $v\en\ell^2$, $v=(v_0,v_1,\ldots)$ $$\lVert (T-T_n)v\rVert^2=\sum_{k=0}^{+\infty}|\langle((T-T_n)v)_k\rangle|^2=\sum_{k\geq n+1}|(T-T_n)(v_k)|^2=\sum_{k\geq n+1}|\lambda_k|^2\cdot|v_k|^2\\\leq \sup_{k\geq n+1}|\lambda_k|^2\lVert v\rVert_{\ell^2}^2 $$ por lo $\lVert T-T_n\rVert\leq \sup_{k\geq n+1}|\lambda_k|$ y llegamos a la conclusión de que $T_n\to T$ en la norma. Una norma-límite de operadores compactos es compacto, por lo $T$ es compacto.
Por el contrario, si $T$ es compacto, entonces usted puede extraer de $\{Te_n\}$ una convergencia de larga por lo que se puede extraer de $\{\lambda_ne_n\}$ una convergencia de larga decir $\{\lambda_{n_k}e_{n_k}\}$. Desde $\lVert \lambda_{n_{k+1}}e_{n_k{+1}}-\lambda_{n_k}e_{n_k}\rVert^2=|\lambda_{n_{k+1}}|^2+|\lambda_{n_k}|^2\to 0$, debemos tener $\lambda_{n_k}\to 0$. Así podemos demostrar que para cada subsequence $\{\lambda_{n_j}\}$, podemos extraer que una más larga que converge a $0$, por lo tanto toda la secuencia converge a $0$.
