Alguien me dijo recientemente que el espacio de contables de los modelos de primer orden de la teoría de la $T$ forma un espacio polaco. Puede uno describir esta construcción a mí?
Respuesta
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No estoy seguro de que esto responda a su pregunta, pero para una contables idioma $L$, de una cosa a hacer es buscar en el espacio de todos contables etiquetados $L$-estructuras como un espacio polaco. Para mayor comodidad, relationalize $L$ (en sustitución de cada función con su gráfica y cada una constante por un predicado unario). Entonces, buscando sólo en estructuras con base $\mathbb{N}$, de la estructura se determina por el hecho de $R(\overline{a})$ mantiene para cada una de las $n$-ary relación $R$ y cada una de las $n$-tupla $\overline{a}$$\mathbb{N}$.
Por lo tanto, podemos ver una etiqueta de estructura como un punto de $X_L = \prod_{R\in L}2^{\mathbb{N}^{n_R}}$ ($n_R$ es el arity de $R$). Este espacio es sólo un espacio de Cantor, homeomórficos a $2^\mathbb{N}$, que es el polaco.
Ahora una de primer orden (o, incluso,$L_{\omega_1,\omega}$) la fórmula (con variables libres correspondientes a los elementos de $\mathbb{N}$) define un conjunto de Borel en este espacio: la atómica fórmulas básicas son las clopen conjuntos de operadores Booleanos son operaciones Booleanas, y la cuantificación existencial corresponde a una determinada contables de la unión: $$[\exists x \phi(x)] = \cup_{n\in\mathbb{N}} [\phi(n)]$$
En particular, se puede exigir que las relaciones que viene de funciones y constantes se interpretan como funciones y constantes con la primera orden de las oraciones ($\forall x, y\, (R_c(x) \land R_c(y))\rightarrow x = y$ para cada constante $c$, e $\forall z_1,\dots,z_k,x,y, (R_f(z_1,\dots,z_k,x)\land R_f(z_1,\dots,z_k,y))\rightarrow x = y$ por cada $k$-ary función de $f$), por lo que las estructuras en la relationalized versión de $L$ que provienen de honesto $L$-la forma de las estructuras cerradas (si usted mira la forma de las sentencias en cuestión, que son las intersecciones de clopen conjuntos) y, por tanto, polaco subespacio.
También hay una acción natural (la "lógica de la acción") de $S_\infty$, la permutación grupo de $\mathbb{N}$, en el espacio de $X_L$, dado por permuting las etiquetas de los elementos. Un isomorfismo de la clase de $L$-estructuras es exactamente una órbita bajo la lógica de la acción, así que usted puede ver el espacio de $L$-estructuras hasta el isomorfismo como un cociente de este espacio por la acción de la $S_\infty$.
Hecho interesante: Los subconjuntos de a $X_L$ que son invariantes bajo la acción de $S_\infty$ son exactamente los definible por $L_{\omega_1,\omega}$frases. Esto generaliza Scott Teorema de Isomorfismo, que dice que cada órbita (cada isomorfismo clase de estructuras contables) se define por una sentencia de $L_{\omega_1,\omega}$.
Para una referencia a todo lo anterior, véase la sección II.16.C. de Kechris' Clásico Descriptivo de la Teoría de conjuntos.
