En Allen Altman Álgebra Conmutativa, es la afirmación de que si $p$ es un primer ideal de $R$ $R$ es un anillo, entonces $(pR[x]+\langle x\rangle)/(pR[x]) \cong \langle x\rangle$. Parece intuitivamente plausible, sino $pR[x]\cap\langle x\rangle \neq \emptyset,$ así que creo que no es cierto.
Debe ser $(pR[x]+\langle x\rangle)/(pR[x]) \cong (\langle x\rangle)/(p\langle x\rangle) \cong R/p[x]$?
Gracias de antemano por su ayuda
A partir de los teoremas de isomorfismo de anillos, tenemos que $(S + I)/I \cong S/(S\cap I)$. En este caso, tenemos $S = \langle x\rangle, I = pR[x]$, y por lo tanto tenemos $(pR[x] + \langle x\rangle)/(pR[x]) \cong \langle x\rangle/ (\langle x\rangle \cap pR[x])$
https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorems
La pregunta ahora es ... ¿qué es $\langle x\rangle \cap pR[x]$?
Elementos de $pR[x]$ son de la forma $\sum\limits_{i=0}^n a_ip_ix^i$ donde$a_i\in R$$p_i\in p$. Y elementos de $\langle x\rangle$ son de la forma $\sum\limits_{i=1}^n b_ix^i$, es decir, no es distinto de cero término constante en cualquier polinomio en $\langle x\rangle$ excepto el cero del polinomio. A continuación, estos dos se cruzan exactamente al $\sum\limits_{i=1}^n b_ix^i = \sum\limits_{i=1}^n a_ip_ix^i$ donde $a_ip_i = b_i$, $a_i\in R$, y $p_i\in p$. (Que debería haber sido el uso de $\mathfrak{p}$ para nuestra notación todo este tiempo...oh, bueno.)
Por lo tanto, en nuestro cociente, tenemos que $\sum\limits_{i=1}^n a_ip_ix^i \equiv 0$ (donde $a_i\in R, p_i\in p$). No estamos muy a la izquierda con sólo $(R/p)[x]$, sin embargo, debido a que todavía no tienen los polinomios de grado 0. Creo que sería más como el ideal de $\langle y\rangle\subset (R/p)[y]$. (Estoy usando otra variable aquí sólo para hacer la distinción.)
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