La fórmula de Heron cuando las longitudes de los lados de incluir los radicales

Question

Estoy ayudando a un estudiante del grado 7 prepararse para un concurso de matemáticas. Tengo una copia de un año anterior en la prueba, y una de las preguntas que me tiene perplejo! Creo que tal vez me estoy haciendo de este problema más difícil de lo que necesita ser. Aquí está el problema:

Hallar el área de un triángulo con lados $2$, $\sqrt{2}$, y $\sqrt{3}-1$.

Yo creo que tendríamos que utilizar la fórmula de Heron aquí, pero se pone tan desordenado con todos los radicales. Este es un problema que tendría que resolver en 3 minutos o menos, por lo que el más simple de explicarlo a ella, mejor. Esta es una escuela secundaria del concurso, con la mayoría de los estudiantes actualmente matriculados en Álgebra 1, por lo que no quiero una solución con el uso de la trigonometría.

Answer 1

Podemos utilizar la cuarta forma de la fórmula de Herón para obtener una respuesta fácil.

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Deje $a=2, b=\sqrt{2}, c=\sqrt{3}-1$. Podemos usar la fórmula $$A=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}$$ We have $a^2 = 4, b^2 = 2, c^2 =4-2\sqrt{3}$. Thus, $$A=\frac{1}{4}\sqrt{32-(2+2\sqrt{3})^2}$$ $$=\frac{1}{2}\sqrt{8-(1+\sqrt{3})^2}$$ $$=\frac{1}{2}\sqrt{4-2\sqrt{3}}$$ $$=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$ Espero que ayude.

Answer 2

Un estudiante de 7º grado que no conoce la fórmula de la Garza todavía puede resolver esto.

Considerar el derecho de triángulos con dos vértices $A$$B$:

• triángulo $ABC$ con $AB=1$, $AC=1$, $BC=\sqrt{2}$; su superficie es de $1/2$.
• triángulo $ABD$ con $AB=1$, $AD=\sqrt{3}$, $BD=2$; su superficie es de $\sqrt{3}/2$.

Dibujo de un boceto de estos triángulos, con punto de $C$$A$$D$, vemos que el buscado de la zona es la diferencia de las áreas arriba mencionadas, $ABD$ menos $ABC$; es decir, es el área del triángulo $BCD$,$\sqrt{3}/2-1/2$.

Answer 3

El semi-perímetro es $\frac{1}{2}(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})$, por lo que la fórmula de la Garza da:

$$ \begin{align} 4 A & = \sqrt{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}) \cdot (-3+\sqrt{2}+\sqrt{3}) \cdot (1-\sqrt{2}+\sqrt{3}) \cdot (3+\sqrt{2}-\sqrt{3})} \\ & = \sqrt{\big((1+\sqrt{3})^2-2\big) \cdot \big(2-(3-\sqrt{3})^2\big)} \\ & = \sqrt{(2+2\sqrt{3})(-10+6\sqrt{3})} = \sqrt{16-8\sqrt{3}} = 2 \sqrt{4-2\sqrt{3}} \end{align} $$

Almacenaje el último radical da $4A=2(\sqrt{3}-1)$.

Answer 4

Otro enfoque no utilizando la fórmula de Heron. Vamos a llamar a $x$ el ángulo opuesto al lado de la $\sqrt{3}-1$, por lo que el uso de la regla del Coseno se obtiene:

$$(\sqrt{3}-1)^2=4+2-2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cos x \Rightarrow \cos x=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{8}}\Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}}$$

y, a continuación, el área es:

$$A=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$