Spin-estadísticas teorema de prueba detalles

Question

Recientemente he leído un libro donde había algunos incomprensible prueba de la Pauli spin-estadísticas teorema. Quiero preguntar acerca de algunos detalles de la prueba.

Primero, el autor deriva de conmutación (anticommutation) relaciones como $[\hat {\psi} (x), \hat {\psi} (x')]_{\pm}$ arbitrarias de los momentos de tiempo para escalar, E. M. y la teoría de Dirac de los casos. Se da cuenta de que todos ellos dependen de la función $$ D_{0} = \int e^{i(\mathbf p \cdot \mathbf (\mathbf x - \mathbf x'))}\frac{\sin(\epsilon_{\mathbf p}(t - t'))}{\epsilon_{\mathbf p}}\frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}}, \quad \epsilon^{2}_{\mathbf p} = \mathbf p^{2} + m^{2}, $$ (como se puede ser mostrado a) es de Lorentz-invariante. Por ejemplo, no es difícil mostrar que para fermionic campo $$ [\Psi (x), \Psi^{\daga } (x')]_{+} = \left( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m\right)D_{0}(x - x'). $$

Segundo, se asume que para el caso de entero arbitrario spin $2n$ existe una función de $\Psi(x)$, por lo que $$ [\hat {\Psi}_{a} (x), \hat {\Psi}^{\daga}_{b}(x')]_{\pm} = F^{\ 2n}_{ab}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)D_{0}(x - x'), $$ y para el caso de $s = 2n + 1$ existe una función de $\Psi(x)$, por lo que $$ [\hat {\Psi}_{a} (x), \hat {\Psi}^{\daga}_{b}(x')]_{\pm} = F^{\ 2n + 1}_{ab}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)D_{0}(x - x'), $$ donde $F_{ab}^{\\ k}$ se refiere a la $\frac{\partial}{\partial x}$ polinomio de grado $k$ y el autor, en esta etapa de la prueba) no aclarar la señal de colector.

¿Cómo se puede argumentar tal generalización de la vuelta a $0, \frac{1}{2}$ $1$ de los casos en la arbitrariedad de los casos de spin valor? Es una gran suposición, porque formalmente es casi resulta Pauli del teorema.

Answer 1

1. Echemos un vistazo a la expresión para el campo con la masa de $m$ y spin $s$ (para la masa asunto a raíz de las declaraciones de existir en forma similar): $$ \tag 1 \hat {\psi}_{a}(x) = \sum_{\sigma = -s}^{s}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3} 2E_{\mathbf p}}}\left( u^{\sigma}_{a}(\mathbf p )e^{-ipx}\hat{a}_{\sigma}(\mathbf p ) + v^{\sigma}_{a}(\mathbf p )e^{ipx}\hat{b}^{\daga}_{\sigma}(\mathbf p )\right). $$ Este campo se refiere a la $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right), n + m = 2s$ spinor representación del grupo de lorentz (así indice medio $\psi_{a} = \psi_{a_{1}...a_{m}\dot {b}_{1}...\dot{b}_{n}}$; el campo es simétrica en todos los índices) y obedece a las ecuaciones $$ \tag 2 (\partial^{2} + m^{2})\psi_{a}(x) = 0, \quad \hat {p}^{\mu}(\sigma_{\mu})^{\dot {b}_{j}a_{i}}\psi_{a_{1} la...a_{i}...a_{m}\dot {b}_{1}...\dot{b}_{j}...\dot{b}_{n}} = 0. $$ 1.1. Si tenemos el campo con el número de integer $l$, se puede convertir $(1)$ (aquí me he perdido algunos cálculos, que no es de importancia) a la simetría del tensor de rango $l$ $A_{\mu_{1}...\mu_{l}}$ (que se refieren a la $\left(\frac{l}{2}, \frac{l}{2}\right)$ y también podemos convertir $(2)$ a de la forma (nuestro tensor es traceless y transverce en todos los índices) $$ \etiqueta 3 (\partial^{2} + m^{2}) = 0, \quad \partial_{\mu_{i}}^{\mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{l}} = 0, \quad A_{\mu_{i}}^{ \mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{l - 1}} = 0. $$ 1.2. En caso de la mitad del número de integer $s = l + \frac{1}{2}$, si queremos obtener la teoría de que es invariante bajo temporal y espacial de las inversiones debemos introducir la suma directa de $\left(\frac{l + 1}{2} , \frac{l}{2}\right) \oplus \left(\frac{l}{2} , \frac{l + 1}{2}\right)$ y, a continuación, para la construcción de la ecuación-proyector que reducir el número de componentes independientes. Así que nos ponemos de $(2)$ y el requisito anterior, el siguiente (el campo es también simétrica, por supuesto): $$ \psi^{\mu_{1}..\mu_{l}} = \begin{pmatrix}\psi_{a}^{\mu_{1}...\mu_{l}} \\ \kappa^{\dot {b}, \mu_{1}...\mu_{l}}\end{pmatrix}, $$ $$ \etiqueta 4 (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m) \psi = 0, \quad \gamma_{\mu_{i}}\psi^{\mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{l}} = 0, \quad g_{\mu_{i}\mu_{j}}\psi^{\mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{j}..\mu_{l}} = 0. $$
2. Aquí está una fuerte teorema: campo de $(1)$ es de lorentz-covariante del campo si y sólo si $u_{a}^{\sigma}(\mathbf p)$ $v_{a}^{\sigma}(\mathbf p)$ están conectados a través de la relación $$ v_{a}^{\sigma}(\mathbf p) = (-1)^{s + \sigma}u_{a}^{-\sigma}(\mathbf p). $$ Este resultado es correcto si $(1)$ transforma bajo la irreductible representante del grupo de Lorentz $T$ que contiene de la irrep de la rotación del grupo de spin $s$ sólo una vez. Esto es correcto para la 1.1, pero no es correcto en el caso de 1.2. Para el último caso, la modificación del teorema da $v_{a}^{\sigma}(\mathbf p ) = (-1)^{s + \sigma}\gamma_{5}u_{a}^{-\sigma}(\mathbf p ) $. El uso de 1 y 2 podemos convertir $[\psi_{a}(x), \psi_{b}^{\dagger}(y)]_{\pm}$.

3. Número de Integer: $$[\psi_{a}(x) \psi_{b}^{\daga}(y)]_{\pm} = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}G^{\sigma}_{ab}(p)\left(e^{-pi(x - y)} \pm e^{-pi(x - y)} \right), $$ donde $G^{\sigma}_{ab}(p) = u^{\sigma}_{a}(p)(u^{\sigma}_{b}(p))^{\dagger}$. Después de que podemos utilizar la siguiente receta: 1) hemos simétrica del tensor $G^{\sigma}_{ab}(p)$, así como covariante lorentz objeto puede ser construido sólo a partir de $g_{\mu \nu}, p_{\nu}$ (el otro objeto, la de Levi-Civita símbolo, es antisymetric). Esto significa que puede ser construido sólo como polinome de rango $2s$ $p_{\mu}$ que contiene sólo los sumandos de incluso el grado de $p$; 2) $G^{\sigma}_{ab}(p)e^{-ipx} =G^{\sigma}_{ab}(\hat {p})e^{-ipx}$$G^{\sigma}_{ab}(p)e^{ipx} = G^{\sigma}_{ab}(-\hat {p})e^{ipx} = G^{\sigma}_{ab}(\hat {p})e^{ipx}$. Si no necesitamos la invariancia bajo espaciales y la inversión de tiempo de la inversión, vamos a obtener el resultado (por el mismo camino) $G^{\sigma}_{ab}(-\hat {p}) = -G^{\sigma}_{ab}(\hat {p})$ para los de media-número de integer realizaciones.

4. La mitad-número de integer. Para este caso tenemos $$ [\psi_{a}(x) \psi_{b}^{\daga}(y)]_{\pm} = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}\left(G^{\sigma}_{ab}(p)e^{-pi(x - y)} \pm \gamma_{5}G^{\sigma}_{ab}(p)\gamma_{5}e^{-pi(x - y)} \right). $$ Mediante el uso de eq. $(4)$ podemos afirmar que el $G_{ab}(p) = (\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)R_{ab}(p)$ donde $R_{ab}(p)$ se construye como la suma de los productos del número de gamma-matrices e incluso el número de los impulsos y de los productos de número impar de gamma y un número impar de los impulsos. Por lo que al tener la relación $[\gamma_{5}, \gamma_{\mu}]_{+} = 0$ y la declaración anterior podemos suponer que la $\gamma_{5}G_{ab}(-p)\gamma_{5} = -G_{ab}(p)$.

Answer 2

No estoy seguro. Completamente perdido acerca de las ecuaciones. Sin embargo, ¿han visto el experimento en el que los electrones que pasan a través de una rendija son girados por 2 pi. El patrón de interferencia turnos. El mínimo y el máximo de la flip. No estoy exactamente seguro de por qué un electrón que se encuentra en un estado diferente sería mostrar cualquier tipo de patrón de interferencia. En cualquier caso, el experimento podría tener algo que ver con el motivo por el principio de exclusión de pauli se lleva a cabo. No estoy seguro de que el principio de exclusión tiene nada que ver con la relatividad. La función de onda de un electrón sistema es anti simétrica. Que es una declaración de principio. No sé si una tiene una ecuación de onda compuesta de dos spinors, debe que la ecuación de onda de ser anti simétrica dada la forma individual spinors transformar? No me importa trabajar. Es una pregunta interesante. Sospecho que es una prueba de que podría ser así de fácil.