$f(AB)=f(A)f(B)$ mostrar que $f$ es o inyectable o cero

Question

Deje que $f \in\mathcal {L}( \mathcal {M}_n( \mathbb {R}))$ de tal manera que..:

$ \forall (A,B) \in\mathcal {M}_n( \mathbb {R}),f(AB)=f(A)f(B)$

¿Cómo puedo mostrar que $f$ es o inyecta o la función nula ?

Lo que he intentado hasta ahora no ha funcionado en absoluto.

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Notificaciones : $ \mathcal {L}(E)$ El conjunto de los endomorfismos $E \rightarrow E$

Answer 1

Supongamos que $f$ no es inyectable, así que hay $A \ne 0$ de tal manera que $f(A) = 0$ . Luego $f$ es $0$ en el ideal de dos caras $J$ generada por $A$ . Afirmo que este ideal es todo $ \mathcal M_n( \mathbb R)$ . Supongamos que $A u \ne 0$ . Entonces si $P$ es una proyección en el lapso de $u$ , $AP \in J$ tiene rango $1$ . Multiplicando a la izquierda y a la derecha por las matrices adecuadas, obtenemos todo eso $E_{ij} \in J$ donde $E_{ij}$ es la matriz con $1$ en posición $(i,j)$ y $0$ en todos los demás lugares. Pero al tomar combinaciones lineales de estos, podemos obtener todos $ \mathcal M_n( \mathbb R)$ .

Por cierto, no hay nada especial en $ \mathbb R$ Esto funcionaría en cualquier campo.