Cómo probar una convergencia de resultados?

Question

Me encontré con un problema como el siguiente:

Si $E\subseteq \mathbb{R}$ es Lebesgue medible y su medida es finito. Mostrar que $$\lim_{n\to\infty}\int_Ee^{inx}\,\mathrm{d}x=0.$$ Un brutal intento de utilizar el Teorema de Convergencia Dominada falla como no tenemos pointwise convergencia. También probé el cambio de variable $y=nx$, pero esto sólo se da un límite superior de la norma de la integral que es estrictamente positivo (no útil).

Puede alguien darme alguna sugerencia o alguna sugerencia sobre este problema? Muchas gracias!

Answer 1

Si $E$ es Lebesgue medible, entonces para cualquier $\epsilon\gt0$, podemos encontrar un finito, la desunión de la unión de intervalos abiertos $U$ tal que $|U\setminus E|+|E\setminus U|\le\epsilon$.

Para cada intervalo de $(a,b)$, $$ \begin{align} \left|\,\int_a^be^{inx}\,\mathrm{d}x\,\right| &=\frac1n\left|\,e^{inb}-e^{ina}\,\right|\\ &\le\frac2n\tag{1} \end{align} $$ Si $N$ es el número de intervalos en $U$, luego $$ \left|\,\int_Ee^{inx}\,\mathrm{d}x\,\right| \le\frac{2N}{n}+\epsilon\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, $$ \limsup_{n\to\infty}\left|\,\int_Ee^{inx}\,\mathrm{d}x\,\right|\le\epsilon\etiqueta{3} $$ y desde $(3)$ es cierto para arbitrario $\epsilon\gt0$, $$ \lim_{n\to\infty}\int_Ee^{inx}\,\mathrm{d}x=0\etiqueta{4} $$

Answer 2

Este es un caso especial de la de Riemann-Lebesgue lema, la prueba de la cual está contenida en los enlaces del artículo.