Por ejemplo: $3^\sqrt5$ frente a $5^\sqrt3$
Intenté escribir los números así:
$3^{5^{\frac{1}{2}}}$ y luego como $3^{\frac{1}{2}^5}$
Pero este método da una respuesta errónea porque $a^{(b^c)} \ne a^{bc}$
Para resolver un problema de este tipo se necesita una combinación de conocimientos sobre las reglas de exponenciación y habilidad para la estimación.
En primer lugar, levante los dos $3^{\sqrt 5}$ y $5^{\sqrt 3}$ al poder $\sqrt 5$ que da los números $3^5=243$ y $5^{\sqrt{15}}$ utilizando la regla $(a^b)^c = a^{bc}$ . Esto tiene el efecto de eliminar una de las raíces cuadradas de un exponente: ahora sólo tenemos que estimar $5^{\sqrt 15}$ . Y $\sqrt{15}>3.5$ Así que $$ 5^{\sqrt{15}}>5^{3.5}=5^3\sqrt 5 = 125\sqrt 5. $$ Desde $\sqrt 5>2$ tenemos que $5^{\sqrt{15}}>125\cdot2=250 > 243 = 3^5$ . Así que $$ \fbox{$ 5^{\\a3} > 3^{\a5} $}. $$
Así que el primer método consiste en aproximar la raíz cuadrada como una fracción, pero ¿cómo obtengo esa fracción?
En realidad, compruebe con su calculadora $\sqrt{5}=2.236<2.333$ sino para demostrarlo, $45<49\Rightarrow3\sqrt{5}<7$
> This function increases ¿Qué función? Sólo he encontrado una $x$ en toda la respuesta, y antes de esta frase sólo hay números, no funciones, así que no estoy seguro de a qué función te refieres en la frase que he citado.
El enfoque del usuario134824, pero con el $\sqrt{3}$ en su lugar, es un poco más agradable:
$$ \begin{align} 3^\sqrt{5} &\text{ vs. } 5^\sqrt{3}\\ (3^\sqrt{5})^\sqrt{3} &\text{ vs. } (5^\sqrt{3})^\sqrt{3}\\ 3^{\sqrt{5}\sqrt{3}} &\text{ vs. } 5^{\sqrt{3}\sqrt{3}}\\ 3^\sqrt{15} &\text{ vs. } 5^3\\ \end{align} $$
Ahora bien, fíjese en que como $\sqrt{15} < 4$ , $3^\sqrt{15} < 3^4$ (a través de la monotonicidad de $3^x$ ), y como $3^4 < 5^3$ ( $81 < 125$ ), podemos decir $3^\sqrt{15}<5^3$ (por transitividad), y posteriormente $3^\sqrt{5} < 5^\sqrt{3}$ (a través de la monotonicidad de $x^\dfrac{1}{\sqrt{3}}, x \ge 0$ ).
Has empezado asumiendo la conclusión. Y creo que has asumido erróneamente que $\frac{\ln 3}{\ln 5} = \ln\left(\frac{3}{5}\right)$ .
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Acuérdate de poner corchetes para eliminar la ambigüedad y no confundirte. $3^{(5^{1/2})}$ . Además, no es cierto que $a^{(b^c)} = a^{bc}$ si es que te has equivocado.
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Estás comparando $3^{5^{1/2}}$ y $5^{3^{1/2}}$
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Una forma es utilizar aproximaciones de fracciones continuas a los cuadrados, por ejemplo, ver el post enlazado al final de esta respuesta, que compara $\,7^\sqrt 8$ vs $8^\sqrt 7$ .
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Parece un problema difícil en general por ejemplo, $2^{\sqrt{79}}<79^{\sqrt2}$ pero $2^{\sqrt{80}}>80^{\sqrt2}$ . $5^{\sqrt{11}}<11^{\sqrt5}$ pero $5^{\sqrt{12}}>12^{\sqrt5}$ . $6^{\sqrt9}<9^{\sqrt6}$ pero $6^{\sqrt{10}}>10^{\sqrt6}$ .