$p$-subgrupo de $\operatorname{Aut}(G)$

Question

Este es el ejercicio 5.6 de Álgebra, de Isaacs.

Deje $G$ ser un grupo finito con $|G|>1$, y supongamos $P\subseteq \operatorname{Aut}(G)\ $ $p$- subgrupo. Mostrar que existe alguna que no sea trivial Sylow $q$-subgrupo $Q$ $G$ (para algunos prime $q$) tal que $\sigma(Q)=Q$ todos los $\sigma \in P \ $.

Puedo resolver el caso $p \mid |G| \ $, pero no el otro.

Answer 1

La solución en el caso de que p no es un divisor de |G|:

Si P es un p-sylow, el número de $n_{q}$ de sylow p-subgrupos de G es $[G:N_{G}(Q)]$ , y por lo $n_{q}\mid |G|$ . Ahora podemos considerar la evidente acción de P en el p-subgrupos de sylow de G, si no hay una Q tal que $\sigma(Q) = Q$ todos los $\sigma \in P \ $, entonces cada órbita tiene una longitud divisible por p y por lo $p \mid n_{q} \mid |G|$, en contraste con la asunción.