Es allí existe un aditivo pero sin delimitar la función?

Question

Acabo de enterarme de que la función que es aditivo y delimitada cerca de $0$ Real tiene la única forma de $f(x)=cx$ donde $c$ es un número constante. Decimos que una función $f$ es aditivo iff $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}$. Decimos que es delimitada cerca de $0$ fib existe $a>0$ $M>0 $ que si $|x|<a$,$|f(x)|<M$. Me pregunto si existe un aditivo función, pero es ilimitado en todas partes? Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Un no-constructiva ejemplo de una desenfrenada aditivo función se puede lograr de la siguiente manera.

Considere la posibilidad de $\mathbb{R}$ a ser un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ (un continuum-dimensionada). Por el axioma de elección, tiene una base de Hamel. Tomar cualquiera de las coordenadas de las funciones correspondientes a esta base. Es aditivo como cualquier función de las coordenadas, pero no puede ser representada como $f(x) = c x$, como es el codominio es $\mathbb{Q}$, por lo tanto, es ilimitado.