Los puntos de distancia al darse cuenta de que el diámetro de tener al menos dos más corta la conexión de rutas

Question

Deje $(M,g)$ ser un completo riemanian colector con $\text{diam}(M,g) < \infty$. Si hay dos puntos de $p,q$ s.t. $d(p,q) = \text{diam}(M,g)$ , entonces hay al menos dos caminos más cortos entre ellos.

Así que mi idea es tomar algunos geodésica (existe porque de integridad) entre p y q, vamos a llamarlo $\gamma: [0,1] \to M$. A continuación, encontrar otra geodésica de p a $\gamma(1 + \epsilon)$ a que existe porque de integridad y no puede ser el mismo como $\gamma$ debido a que la longitud tiene que ser $\le \text{diam}(M,g)$.

Entonces lo que quiero hacer es mirar hacia atrás en el espacio de la tangente $T_pM$ $p$ y encontrar algo así como un Cauchy-Secuencia de la $v_\epsilon$ donde $\exp(tv_\epsilon)$ es la geodésica de $p$ $\gamma(1+\epsilon)$y ver que el límite de estas $v_\epsilon$ me da otra geodésica. Pero esto es donde estoy atascado. No está claro que una de Cauchy-Secuencia como la que existe para mí y que el límite por la derecha de la cosa.

Answer 1

Os voy a contar cómo resolver la parte en la que están atrapados, pero no el problema original. Su enfoque es, de hecho correcta. Si $\gamma_\varepsilon$ es el minimizer con endpoint $\gamma(1+\epsilon)$ (a partir de ese punto), parametrizadas por arclength (!), a continuación, la preimagen de $\gamma_{\varepsilon}(0)$ bajo la exponencial se convergen al origen de $T_{\gamma(1)}M$, que corresponde a $\gamma(1)$. Ahora tenga en cuenta que la inicial vectores tienen toda la longitud $1$, y que el conjunto de estos vectores es compacto. Esto significa que una larga convergerán para algunos $v\in T_{\gamma(1)}M$ .

Si a continuación, busque en la línea geodésica que se inicia en $\gamma(1)$ dirección $v$ este será reducir a un mínimo (por qué?) geodésica entre dos puntos que empezaste.

Ahora la parte difícil (que no voy a resolver para usted) es mostrar que el límite de $v$ puede ser elegida de tal modo que esta limitación geodésica es diferente de $\gamma$.