El número y la cantidad de divisores de - una potencia de dos

Question

Para un entero positivo $n$ se sabe que la suma de todos los divisores de que el número es una potencia de $2$. Demostrar que el número de estos divisores es también un poder de $2$.

Mi trabajo hasta el momento: Varios de estos números que he encontrado

Deje $\tau(n) -$ el número de divisores de a $n$

1) $n=3; 1+3=4=2^2$ $\tau (3)=2$

2) $n=7; 1+7=8=2^3$ $\tau (7)=2$

De $1$ $20$estos números no tienen.

3) $n=21=3 \cdot 7; \tau(21)=4 (1,3,7,21)$ $1+3+7+21=32=2^5$

4) $n=31; 1+31=32=2^5$ $\tau(31)=2$

Answer 1

Los dos primeros divisor funciones de un número con la descomposición en factores primos $n=\prod_ip_i^{a_i}$

$$ \sigma_0(n)=\prod_i(a_i+1) $$

y

$$ \sigma_1(n)=\prod_i\left(1+p_i+\cdots+p_i^{a_i}\right)\;. $$

Desde $\sigma_0$ es claramente un poder de $2$ si y sólo si el$a_i+1$, tenemos que mostrar que $a_i+1$ es una potencia de $2$ si $1+p_i+\cdots+p_i^{a_i}$ es una potencia de $2$. Ahora si $p_i=2$,$1+p_i+\cdots+p_i^{a_i}=2^{a_i+1}-1$, que no es una potencia de $2$, por lo que podemos centrarnos en números primos. Por extraño $p_i$ si $1+p_i+\cdots+p_i^{a_i}$ es un poder (y, por tanto, un múltiplo) de $2$, $a_i+1$ es aún, y $1+p_i+\cdots+p_i^{a_i}=(1+p_i)(1+p_i^2+\cdots+p_i^{a_i-1})$. Para que esto sea una potencia de $2$, ambos factores deben ser. Pero entonces, podemos aplicar el mismo razonamiento para el factor de $1+p_i^2+\cdots+p_i^{a_i-1}$ y el factor de salida $1+p_i^2$. Podemos seguir para factorizar la totalidad de la suma como este, y de ello se sigue que $a_i+1$, el número de sumandos, es un poder de $2$, según se requiera.