Tengo dos preguntas sobre la clase de polinomios de coeficiente entero cuyas raíces son todas racionales.
Q1 . ¿Hay alguna forma de reconocer un polinomio de este tipo a partir de sus coeficientes $a_0, a_1, \ldots, a_n$ ?
Soy consciente de la teorema de la raíz racional que dice que cada raíz racional es de la forma $\pm p/q$ , donde $p$ es un factor de $a_0$ y $q$ un factor de $a_n$ .
Q2 . ¿Se ha estudiado esta clase de polinomios por derecho propio?
En otras palabras, ¿es interesante esta clase? Veo que tiene al menos una estructura monoide, ya que el producto de dos polinomios de este tipo también tiene todas las raíces racionales.
Son preguntas ingenuas, muy fuera de mis conocimientos. ¡Gracias de antemano por educarme!
Actualización . La discusión en MathOverflow (ver aquí ) concluyó que Q1 se puede responder en tiempo polinómico, utilizando los métodos del famoso Lenstra, Lenstra, Lovász paper, "Factoring polynomials with rational coefficients".
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Esta clase es biyectiva con la clase de todos los pares $(A,X)$ donde $A$ es un número entero y $X$ es un subconjunto finito de números racionales. No sé si eso es un hecho útil.
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@Hurkyl: sí, pero no parece ser particularmente fácil calcular esta biyección en una dirección.
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El teorema de Sturm permite saber cuántas raíces reales distintas hay sin necesidad de calcularlas y puede utilizarse para localizar raíces. Así que eso se puede hacer a partir de los coeficientes. es.wikipedia.org/wiki/Teorema de Sturm
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@Mark: Gracias, sí. Así que uno puede ver la pregunta como la búsqueda de un equivalente del Teorema de Sturm para las raíces racionales.
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Ahora he hecho un crossposting en MathOverflow .